salut

Indice pose Vn = ln(Un)

D.

Oula, pourquoi partir dans les logarithmes... :/

J'ai lu cette réponse :

A l'aide d'une récurrence évidente, on établit que pour tout entier n, on a Un = Uo²^{^n}
Mais je vois pas quelle récurrence ?

c'est bien Uo puissance 2 puissance n : Uo^2^n

avec les logarithmes tu aurais montrer que Vn est une suite géométrique.
et là pas de récurrence.

je te laisse ta méthode.

D.

oui mais la méthode par récurrence je vois pas comment faire :/

vas-y commence ta rédaction, pour voir ou tu bloques.

D.

Ben justement je bloque dès le début...
Je vois pas comment résoudre ça avec des récurrences :$

on cherche à montrer l' hypothèse de récurrence (Hn) Un = U0^2^n

puisque U1 = U0² donc (H1) est vérifiée à l'ordre 1

Supposons que Hk est vérifiée jusqu'à l'ordre k

nous avons Uk = U0^2^k  (Hk)

qu'en est-il à l'odre k+1 ?

puisque U(k+1)=Uk² = (U0^2^k)^2 = (U0^2^k)(U0^2^k) = U0^(2*2^k) = U0^2^(k+1)

ainsi si  (Hk) est vérifiée alors (Hk+1) l'est aussi.

Nous avons donc démontré par récurrence que


D.

vous dites :

"on cherche à montrer l' hypothèse de récurrence (Hn) Un = U0^2^n"
et "nous avons Uk = U0^2^k  (Hk)"

Or c'est ce qu'on cherche, donc on ne peut pas s'en servir..puisqu'on ne le connait pas...

Merci =]

Ma méthode

on pose Vn= ln(Un)

V(n+1) = ln(U(n+1)) = ln Un² = 2lnUn = 2 Vn

Vn est une suite  géométrique de raison 2.

donc Vn = 2^n V0

V0= ln(U0)

or Un= exp(Vn) donc Un =exp(2^n ln(U0))

or 2^n ln(U0) = ln(U0^(2^n))

d'ou Un = U0^(2^n)

D.

c'est une question de rédaction entraine toi à rédiger une démonstration par récurrence.

D.

je te fait remarquer que


Supposons que Hk est vérifiée jusqu'à l'ordre k

nous avons Uk = U0^2^k  (Hk)


le "Supposons" implique (Hk)

D.

Ah oui ok ! Bon b je vais faire votre méthode en fait^^ Je comprends mieux =)

Merci beaucoup !!