est ce que quelqu un peut me dire si mon raisonnement est bon:

u est un endomorphisme orthogonal donc u conserve le produti scalaire donc u conserve la norme c est donc une isometrie donc une bijection?
est ce que c est correct?

bonjour

soit x tel que u(x)=0 alors ||u(x)|| = ||x||=0 donc x=0
u est donc injectif

comme tu ne précise rien sur la dimension de l'espce vectoriel , finie ou non, tu dois étudier la surjectivité.

Soit E l'espace Euclidien

à partir de ||u(x+y)||²=||x+y||² tu peux montrer facilement que u conserve le produit scalaire.

soit (ei)iEI une base orthogonale de E.

l'image d'une base orthogonale (ei)iEI est une base orthogonale (Ei)iEI

soit y un élément de E. nous cherchons l'existance d'un x élément de E tel que y=u(x)

y=Sigma(yiei)iEI
et si x existe alors
u(x)=SIgma(xiu(ei))iEI=sigma(xiEi)iEI ; avec Ej=u(ei) iEI

alors xi=x.ei=u(x).u(ei)  ; car conservation du produit scalaire
             = y.Ej    ; u(x)=y et u(ei)=Ej (Ej) base othogonale
             = yj

donc u est surjectif.
exemple d'espace Euclidien de dimension infinie  l'escale des fonctions décomposables en séries de Fourier.

Bonjour,

Ca semble exact.

Tu peux aussi dire qu'il est injectif puisque ||u(a)-u(b)|| = ||u(a-b)|| = ||a-b|| donc u(a)=u(b) <=> a=b, et en dimension finie, injectif => bijectif.

ok, merci! y a t il un epropriété permettant d affirmer que u^-1 est aussi un endo orthogonal ou faut il qu eje montre la conservation de la norme?

je ne comprends pas

Re

Oui facilement à  partir de la conservation de la norme par :
||u(x)|| = ||x||  

si u^-1(y)=x donc u(x)=y

||u-1(y)||=||x||  ; car u^-1(y)=x
          =||u(x)|| ; car u conserve la norme
          =||y||  ; car u(x)=y

Montrer que u^-1 est orthognal si u est orthogonal est évident :
||u(x)|| = ||x||
donc ||u(u^-1(x))|| = ||u^-1(x)|
donc ||x|| = ||u^-1(x)||

je dois montrer que l ensemle des automorphismes orthogonaux ets un sous groupe du groupe lineaire

je peux donc affirmer que cet ensemble est non vide car Id*=Id
mais pour montrer qu il ya stabilité de la composition et de l inversion, j ai du me montrer parce que j ai fait avec la conservation de la norme, mais ce n est pas ca qu on me demande

RE

il te suffit de montrer que (u-1)ov appartient est orthogonal: cad conserve la norme

oui ca je l ai fait en deux etapes mais je l ai fait
donc il ne faut pas montrer que c est linéaire, juste conservation de la norme

Il faut aussi montrer que c'est linéaire, mais ça aussi c'est trivial.

oui mais pour montrer que c est un sous groupe du groupe linaire je ne dois pas montrer que ||UoV(x)||=||x||?

Oui, mais avec U et V qui sont dans le groupe, donc des applications linéaires.
Pour montrer que l'inverse est dans le groupe, tu dois montrer qu'il vérifie l'égalité des normes et aussi que c'est une application linéaire puisque c'est exactement ca que veut dire etre dans le groupe.

oui, mais pour l inverse on ma  demandé juste avant de montrer que si si u est orthogonal alors u est bijectif et u^-1 aussi orthogonal donc là il n y a rien a faire

donc en resumé je dois montrer que UoV est lineaire puis conservation de la norme
et u^-1 lineaire et conservation de la norme?

Oui et que l'identité est aussi dedans mais tu l'as deja fait.

jvais faire ça et si jai besoin jreviens!!!
merci bien

Ca marche.
a+

au fait, est ce que (f(x)|f(y))=(x|y) equivaut f(x).f(y)=x.y

qu'appelles tu (|) et . ?
Si ce sont les produits scalaires alors si c'est le même produit scalaire oui, c'est juste la notation qui change.

bien oui celui de gauche, c est mon produit scalaire mais celui de droite, c est ce que je dois montrer et je ne sais aps si c est le produit scalaire, il n est pas précisé, on va dire que oui!

j ai une chaine d equivalence et je dois montrer parmi d autres que si u est orthogonal alors u^-1=u*, mais c est par definition, non?

il me reste juste à montrer que (u(x)|u(y))=(x|y)u^-1=u*,
comment puis je m y prendre

RE

à partir de (u(x),y)=(x,u*(y))

tu qq soient x, y
(u-1(x)-u*(x),y)=(u-1(x),y)-(u*(x),y) ; car linéarité du produit scalaire
        = (x,u(y))-(x,u(y)) ; car (u-1(x),u-1ou(y))=(x,u(x)) et (u*(x),y)=(x,u(y))
        =0

donc qq soient x, y (u-1(x)-u*(x),y)=0

donc qq soit x : u-1(x)-u*(x)=0
donc u-1 =u*