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Niveau Maths sup
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Polynômes

Posté par
gui_tou
07-01-08 à 21:32

Bonsoir

Une piste serait la bienvenue

Citation :
Montrer que : \large \fbox{\rm\forall n\in\mathbb{N}\,,\,\(1+X+X^2+X^3\).\Bigsum_{k=0}^{2n} {(-1)}^k.X^k = 1+X^2+X^{2n+1}+X^{2n+3}


Je me lance :

\Large \rm\forall n\in\mathbb{N}\,,\,\Bigsum_{k=0}^{2n} {(-1)}^k.X^k = \fra{1-{(-X)}^{2n+1}}{1-(-X)}=\fra{1+X^{2n+1}}{1+X}

Je serais bien parti sur un DSE de \Large \rm\fra{1}{1+X} mais ça ne servirait à rien Ou bien tenter de factoriser...

Merci

Posté par
fusionfroide
re : Polynômes 07-01-08 à 21:40

Salut Guillaume !

Par récurrence ??

Posté par
gui_tou
re : Polynômes 07-01-08 à 21:41

Tiens, dans le membre de gauche on a : \large%20\rm 1+X+X^2+X^3=\fra{1-X^4}{1-X}

Il faut donc que je montre (sauf erreur) que : \Large%20\rm\forall%20n\in\mathbb{N}\,,\,\fra{1+X^{2n+1}}{1+X}=\(1+X^2+X^{2n+1}+X^{2n+3}\)\fra{1-X}{1-X^4}

Posté par
gui_tou
re : Polynômes 07-01-08 à 21:42

Re FF !

Ici il doit y avoir moyen de s'en sortit sans récurrence, non ?

Merci

Posté par
gui_tou
re : Polynômes 07-01-08 à 21:54

En bidouillant un peu, ça revient à montrer que \Large \rm \fra{1+X^2+X^{2n+1}+X^{2n+3}}{X^2+1}=1+X^{2n+1} (avec une division euclidienne..lourd : je cherche autre chose)

En tout cas merci de ton soutien

Posté par
fusionfroide
re : Polynômes 07-01-08 à 21:55

de rien

Posté par
gui_tou
re : Polynômes 07-01-08 à 21:56

Oui ou bien tout bêtement en factorisant 1+X²+X.. par (X²+1)

Posté par
frenicle
re : Polynômes 07-01-08 à 22:44

Bonsoir

1 + X + X² + X3 = (1 + X)(1 + X²)

Donc le membre de gauche vaut (1 + X²)(1 + X2n+1)

Cordialement
Frenicle

Posté par
gui_tou
re : Polynômes 07-01-08 à 22:46

Bonsoir Frenicle

OK merci

Il y a une technique pour factoriser de longues sommes ?

Posté par
frenicle
re : Polynômes 07-01-08 à 22:47

C'est-à-dire ?

Posté par
gui_tou
re : Polynômes 07-01-08 à 22:51

3$A=1+X+X^2+X^3+X^4+X^5+X^6+X^7

Je suis capable de dire 3$A=\fra{X^8-1}{X-1}, mais comment tomber sur la forme finale, ie 3$(X+1)(X^2+1)(1+X^4) sans traîner d'identité remarquable ?

Posté par
frenicle
re : Polynômes 07-01-08 à 23:06

D'une façon générale

xn - 1 = d(x)

où le produit porte sur les entiers d divisant n et d(x) est le polynôme cyclotomique d'indice d.

Par exemple

x^12 - 1 = (x - 1)(x + 1)(x² + x + 1)(x² - x + 1)(x² + 1)(x4 - x² + 1)

Posté par
otto
re : Polynômes 07-01-08 à 23:19

Salut,
je ne comprend pas, tu l'avais presque ...

\frac{1+x^{2n+1}}{1+x}(1+x+x^2+x^3)=(1+x^{2n+1}+x^2(1+x^{2n+1})
et le résultat est prouvé, non?



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