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Niveau Maths sup
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polynôme minimal

Posté par
romu
07-01-08 à 21:56

Bonsoir, je bloque sur cette question:

Soit E un espace vectoriel de dimension finie sur un corps K. Pour un endomorphisme f de E, on notera \mu_f son polynôme minimal.

Montrer que pour tout P\in K[X], on a

\mbox{P(f) inversible} \qquad \Longleftrightarrow \qquad P\wedge \mu_f = 1.

Merci pour votre aide.

Posté par
otto
re : polynôme minimal 07-01-08 à 21:58

Bonjour,
P(f) inversible équivaut à quoi ?

Posté par
raymond Correcteur
polynôme minimal 07-01-08 à 22:05

Bonsoir.

J'appelle plutôt M le polynôme minimal de f.

PGCD(P,M) = 1 <==> il existe deux polynômes U et V tels que U.P + V.M = 1

En passant à f : U(f)oP(f) + V(f)oM(f) = Id

Comme M(f) = O, il reste U(f)oP(f) = Id.

Mais comme deux polynômes en f commutent on a aussi P(f)oU(f) = Id.

Posté par
raymond Correcteur
polynôme minimal 07-01-08 à 22:05

Rebonsoir otto !!

Posté par
romu
re : polynôme minimal 07-01-08 à 22:06

Bonsoir otto,

je traduis pardon,

\mbox{P(f) inversible} \qquad \Longleftrightarrow \qquad pgcd(P,\mu_f) = 1.

Posté par
otto
re : polynôme minimal 07-01-08 à 22:07

Salut,
merci de la précision Romu, Raymond semble avoir répondu, je le salue au passage.
a+

Posté par
romu
re : polynôme minimal 07-01-08 à 22:10

Bonsoir Raymond, en fit c'est ce que j'avais répondu pour l'implication réciproque, mais je ne vois pas trop pourquoi ça justifie l'implication directe aussi.

En fait le point qui me gêne dans ce sens, c'est pourquoi on peut passer de

"En passant à f : U(f)oP(f) + V(f)oM(f) = Id" ==> "il existe deux polynômes U et V tels que U.P + V.M = 1".

Posté par
Ksilver
re : polynôme minimal 07-01-08 à 22:16

Ce qu'il dit est juste, mais il est en effet pas totalement évident de passé de U(f)oP(f) + V(f)oM(f) = Id a U.P + V.M = 1


ceci dit, la réciproque est trivial, par cette méthode il est donc prouvé que Pgcd =1 => P(f) inversible tu es d'accord ?

pour la réciproque : si pgcd =Q avec dQ >0, alors Q(f) est un diviseur de 0 : Q(f)*(M/Q)(f) =0 et (M/Q)(f) est non nul, car M/Q est de degré <dM qui est minimal, donc Q(f) n'est pas inversible, et donc P(f)=Q(f)*(P/Q)(f) non plus.

Posté par
Ksilver
re : polynôme minimal 07-01-08 à 22:18

(NB, mais la transition "pas totalement evidente" peut aussi ce faire, en fait U(f)P(f)=Id, implique U.P-1 est dans l'idel anulateur de f, donc UP-1=QM et on obtiens le résultat voulue (il suffit de changer de polynome V en réalité...)

Posté par
romu
re : polynôme minimal 07-01-08 à 22:23

je vois merci, à vous

Posté par
romu
re : polynôme minimal 07-01-08 à 22:24

ah d'accord, merci pour l'anecdote Ksilver.

Posté par
raymond Correcteur
re : polynôme minimal 07-01-08 à 22:28

Supposons P(f) inversible. Son inverse est un polynôme en f du type Q(f).

Alors P(f)oQ(f) = Id.

Cela signifie que P(f)oQ(f) - Id = O

Donc le polynôme P.Q - 1 est annulé par f. Cela signifie que c'est un multiple du polynôme minimal M.

Il existe donc un polynôme R tel que P.Q - 1 = R.M

Posté par
romu
re : polynôme minimal 07-01-08 à 22:34

Pourquoi d'ailleurs son inverse est un polynôme en f du type Q(f)?

Posté par
Ksilver
re : polynôme minimal 07-01-08 à 22:44

Pas trivial non plus. mais la démo que j'en donne le prouve :

si P et M sont premier entre eux, alors P(f) est inversible et son inverse est un polynome en f (celui donné par Bezout)
si P et M ne sont pas premier entre P(f) n'est pas inversible.

donc P(f) inversible => P(f)^(-1) est un polynome en f.

de facon géneral on a prouvé aussi que si M est inversible alors M^(-1) est un polynome en M. (en appliquant tous cela a P=X...)

Posté par
raymond Correcteur
re : polynôme minimal 07-01-08 à 22:49

Bonsoir Ksilver.

Ta remarque sur la forme de l'inverse de P(f) est pertinente. Je ne m'étais pas posé la question car pour moi, l'inversibilité de P(f) se définit dans l'anneau (et même la K-algèbre commutative) K[f].

Posté par
romu
re : polynôme minimal 07-01-08 à 23:24

ok, merci



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