Bonsoir, je bloque sur cette question:
Soit un espace vectoriel de dimension finie sur un corps . Pour un endomorphisme de , on notera son polynôme minimal.
Montrer que pour tout , on a
.
Merci pour votre aide.
Bonsoir.
J'appelle plutôt M le polynôme minimal de f.
PGCD(P,M) = 1 <==> il existe deux polynômes U et V tels que U.P + V.M = 1
En passant à f : U(f)oP(f) + V(f)oM(f) = Id
Comme M(f) = O, il reste U(f)oP(f) = Id.
Mais comme deux polynômes en f commutent on a aussi P(f)oU(f) = Id.
Bonsoir Raymond, en fit c'est ce que j'avais répondu pour l'implication réciproque, mais je ne vois pas trop pourquoi ça justifie l'implication directe aussi.
En fait le point qui me gêne dans ce sens, c'est pourquoi on peut passer de
"En passant à f : U(f)oP(f) + V(f)oM(f) = Id" ==> "il existe deux polynômes U et V tels que U.P + V.M = 1".
Ce qu'il dit est juste, mais il est en effet pas totalement évident de passé de U(f)oP(f) + V(f)oM(f) = Id a U.P + V.M = 1
ceci dit, la réciproque est trivial, par cette méthode il est donc prouvé que Pgcd =1 => P(f) inversible tu es d'accord ?
pour la réciproque : si pgcd =Q avec dQ >0, alors Q(f) est un diviseur de 0 : Q(f)*(M/Q)(f) =0 et (M/Q)(f) est non nul, car M/Q est de degré <dM qui est minimal, donc Q(f) n'est pas inversible, et donc P(f)=Q(f)*(P/Q)(f) non plus.
(NB, mais la transition "pas totalement evidente" peut aussi ce faire, en fait U(f)P(f)=Id, implique U.P-1 est dans l'idel anulateur de f, donc UP-1=QM et on obtiens le résultat voulue (il suffit de changer de polynome V en réalité...)
Supposons P(f) inversible. Son inverse est un polynôme en f du type Q(f).
Alors P(f)oQ(f) = Id.
Cela signifie que P(f)oQ(f) - Id = O
Donc le polynôme P.Q - 1 est annulé par f. Cela signifie que c'est un multiple du polynôme minimal M.
Il existe donc un polynôme R tel que P.Q - 1 = R.M
Pas trivial non plus. mais la démo que j'en donne le prouve :
si P et M sont premier entre eux, alors P(f) est inversible et son inverse est un polynome en f (celui donné par Bezout)
si P et M ne sont pas premier entre P(f) n'est pas inversible.
donc P(f) inversible => P(f)^(-1) est un polynome en f.
de facon géneral on a prouvé aussi que si M est inversible alors M^(-1) est un polynome en M. (en appliquant tous cela a P=X...)
Bonsoir Ksilver.
Ta remarque sur la forme de l'inverse de P(f) est pertinente. Je ne m'étais pas posé la question car pour moi, l'inversibilité de P(f) se définit dans l'anneau (et même la K-algèbre commutative) K[f].
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