Bonsoir , j'ai l'exercice suivant :
Soit f l'application linéaire définie par :
f : R³ --> R³ , (x,y,z) > (y-x,2z-y,-z) .
1) Montrer que f est linéaire .
Soit v1(x1,y1,z1) R³
Soit v2(x2,y2,z2) R³
Soit , et R .
f(v1 + v2) = f((x1,y1,z1) + (x2,y2,z2)) = (y1-x1,2z1-y1,-z1) + (y2-x2,2z2-y2,-z2) = f(v1) + f(v2) .
Donc f est bien linéaire .
2)Déterminer la matrice A de l'application f relativement aux bases canoniques de R³ .
Base de canonique de R³ est :
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Soit v'(x',y',z') R³ .
(f(x))*B2 = A(x)*B1 , B2 et B1 étant les bases canoniques de R³ , l'équation est donc :
(y'-x') * (1 0 0)
(2z'-y') * (0 1 0) =
(-z') * (0 0 1)
(A) * (1 0 0)
(0 1 0)
(0 0 1)
En choisissant 1 pour valeur de x' y' et z' je trouve cette matrice :
A =
0 0 0
0 1 0
0 0 -1 .
3)déterminer l'image et le noyau de f .
kerf = { v R³ , f(v) = 0} , je résouds donc le système suivant :
-x+y = 0
-y+2z = 0
-z = 0
Le noyau est donc : kerf = {v(0,0,0) R³} , autrement dit le vecteur nul .
Imf = {v' R³ ; v2 R³ , v' = f(v2)}
Je résouds donc le système suivant :
-x2 + y2 = x'
-y2 + 2z2 = y'
-z2 = z'
Je crois qu'on ne peut pas continuer , l'image c'est ça non ?
que pensez vous de mes résultats ?
merci de votre aide .
bonjour
1) est juste
2) tu as si v(x,y,z) dans la base canonique de R^3 et v'(x',y',z') son image
alors:
x'=-x+y
y'=-y+2z
z'=-z
donc
(x') (-1 1 0)(x)
(y')=(0 -1 2)(y)
(z') (0 0 -1)(z)
cela te donne la matrice de l'endomorphisme f dans la base canonique de R^3.
3)Kerf est juste
donc f est un automorphisme de R^3
donc
Kerf+Imf=R^3 ; somme directe
donc Imf=R^3 car Kerf={(0,0,0)}
bonjour watik , pour la question 2 , d'où vient cette matrice et comment tu la trouves :
(-1 1 0)
(0 -1 2)
(0 0 -1)
merci
par contre j'ai une question : pourquoi jerf + Imf est une somme directe ?
merci
mais en fait alors une somme directe c'est quoi concrètement ?
Bonsoir
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