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application linéaire et matrices

Posté par georgy (invité) 08-01-08 à 00:06

Bonsoir , j'ai l'exercice suivant :

Soit f l'application linéaire définie par :

f : R³ -->  R³ , (x,y,z) > (y-x,2z-y,-z) .

1) Montrer que f est linéaire .

Soit v1(x1,y1,z1)
Soit v2(x2,y2,z2)

Soit , et R .

f(v1 + v2) = f((x1,y1,z1) + (x2,y2,z2)) = (y1-x1,2z1-y1,-z1) + (y2-x2,2z2-y2,-z2) = f(v1) + f(v2) .

Donc f est bien linéaire .

2)Déterminer la matrice A de l'application f relativement aux bases canoniques de R³ .

Base de canonique de R³ est :

1 0 0
0 1 0
0 0 1

Soit v'(x',y',z') R³ .

(f(x))*B2 = A(x)*B1 , B2 et B1 étant les bases canoniques de R³ , l'équation est donc :

(y'-x') * (1 0 0)
(2z'-y') * (0 1 0) =
(-z') * (0 0 1)

(A) * (1 0 0)
      (0 1 0)
      (0 0 1)

En choisissant 1 pour valeur de x' y' et z' je trouve cette matrice :

A =
0 0 0
0 1 0
0 0 -1 .

3)déterminer l'image et le noyau de f .

kerf = { v R³ , f(v) = 0} , je résouds donc le système suivant :

-x+y = 0
-y+2z = 0
-z = 0

Le noyau est donc : kerf = {v(0,0,0) R³} , autrement dit le vecteur nul .

Imf = {v' R³ ; v2 R³ , v' = f(v2)}

Je résouds donc le système suivant :

-x2 + y2 = x'
-y2 + 2z2 = y'
-z2 = z'

Je crois qu'on ne peut pas continuer , l'image c'est ça non ?

que pensez vous de mes résultats ?

merci de votre aide .

Posté par
watik
re : application linéaire et matrices 08-01-08 à 10:28

bonjour

1) est juste

2) tu as si v(x,y,z) dans la base canonique de R^3 et v'(x',y',z') son image
alors:
x'=-x+y
y'=-y+2z
z'=-z

donc

(x') (-1 1 0)(x)
(y')=(0 -1 2)(y)
(z') (0 0 -1)(z)

cela te donne la matrice de l'endomorphisme f dans la base canonique de R^3.

3)Kerf est juste

donc f est un automorphisme de R^3

donc
Kerf+Imf=R^3  ; somme directe

donc Imf=R^3 car Kerf={(0,0,0)}

Posté par georgy (invité)re : application linéaire et matrices 08-01-08 à 14:01

bonjour watik , pour la question 2 , d'où vient cette matrice et comment tu la trouves :

(-1 1 0)
(0 -1 2)
(0 0 -1)

merci

Posté par georgy (invité)re : application linéaire et matrices 08-01-08 à 14:06

ah c'est bon j'ai trouvé

Posté par georgy (invité)re : application linéaire et matrices 08-01-08 à 14:16

par contre j'ai une question : pourquoi jerf + Imf est une somme directe ?

merci

Posté par
watik
re : application linéaire et matrices 08-01-08 à 14:35

parce que f est un automorphisme de R^3.

Posté par georgy (invité)re : application linéaire et matrices 08-01-08 à 14:45

mais en fait alors une somme directe c'est quoi concrètement ?

Posté par
jeanseb
re : application linéaire et matrices 08-01-08 à 18:51

Bonsoir

Citation :
mais en fait alors une somme directe c'est quoi concrètement ?


Deux sous espaces vectoriels sont en somme directe quand:

- il n'ont en commun que le vecteur nul (donc pas de vecteur "de base" en commun, pas de direction en commun)

- leur somme donne l'espace de départ en entier (donc la somme de leurs dimensions donne la dimension de l'espace de départ, si tu es en dimension finie bien entendu.

Par exemple dans le plan vectoriel, deux droites linéaires n'ayant pas la même direction sont en somme directe.

Deux droites "parallèles" ne le sont pas (1 vecteur non nul en commun)

Dans l'espace à 3 dim, un plan vectoriel et une droite vectorielle n'appartenant pas à ce plan sont en somme directe. Si la droite appartient au plan, ca ne colle plus.

Deux plans vectoriels ne le sont pas (intersection non nulle)

Tu vois un peu?



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