En fait on me demande de voir si il existe tel que , c'est bien ça?

Salut,

a) Euh oui enfin non pas tout à fait. En montrant ce que tu veux montrer dans ton post 2 (puisque manifestement un tel lambda n'existe pas), tu montres simplement que .
Après, faut essayer de regarder s'il existe tel que
Et ainsi de suite jusqu'à trouver un nombre où ça marche.

Bon courage.

Pour le b normalement tu dois rechercher le polynome caractéristique (det de f-Id) apres tu cherches si il est à racines simples (cas le plus profitable) où si y'a une racine double tu cherches la dimension du sous espace propre associé a cette valeur... - C'est fou j'ai réussi à assimiler tout ce vocabulaire, ca releve du miracle... -

Ayoub, comment tu vois qu'un tel n'existe pas?

ah oui non, je viens de comprendre

Bon pour , je trouve qu'on ne peut pas avoir quelque soient non tous nuls dans .

Mais si n est un grand nombre (genre 7 ou 8) ça va être long ta méthode, t'es sûr qu'il y a pas plus pratique?

Tu peux essayer via le polynome caractéristique, tu sais que ton polynome minimal le divise

mais je vis pas le rapport entre cette famille d'endomorphismes et le polynômes minimal. Et à quoi il sert d'ailleurs ce polynôme minimal? Avant on connaissait juste le polynôme caractéristique dans les réductions d'endomorphismes niveau L2 et on s'en sortait bien, alors pourquoiintroduire un nouveau polynôme, à quoi va-til servir?

Le polynôme caractéristique ne te donne pas les mêmes informations que le polynôme minimal.
Comme son nom l'indique le polynôme minimal est le plus petit (non nul) qui annule ton endomorphisme.

Par exemple, un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si son polynôme minimal est scindé à racines simples.

Un endomorphisme est réductible sous forme de Jordan si et seulement si son polynôme minimal est scindé sur ton corps, ce qui prouve que tout endomorphisme se met sous forme triangulaire sur le corps de base est C par exemple.

Le rapport avec ton problème est clair, si tu trouves abc tels que
af^2+bf+c.Id=0 ton polynôme annulateur est
aX^2+bX+c

Mais si n est un grand nombre (genre 7 ou 8) ça va être long ta méthode, t'es sûr qu'il y a pas plus pratique?

Mais n ne peut pas être plus grand que 3 ici et dans la pratique on ne te filera jamais des matrices d'ordre plus grande que 5 sauf s'il y'a des trucs qui simplifient largement les calculs.

ok merci pour ces informations.

Pourquoi n ne peux pas être plus grand que 3? on a pas d'endomorphisme qui engendre End(E)? qui a pour dimension 9 ici.

Parce que le polynôme caractéristique d'un endomorphisme annule toujours l'endomorphisme.

salut

je trouve (pour une fois) que la correction du prof d'algèbre n'est pas trop mal sur cet exo.

En fait il calcule e₁, f(e₁), f(e₁)² et il montre que f(e₁)² = 4f(e₁)-3e₁ il en déduit que
_f,e1=X²-4X+3

Il fait ensuite de même pour e₂, f(e₂), f(e₂)², f(e₂)³ .

Or on sait que le polynome caractéristique de la matrice est de degré 3 (on le sait...non??? vu que la matrice a 3 colonnes de libre, enfin je sais pas pourquoi mais en gros on est sensé le savoir ) et donc vu que le polynome minimal divise le polynome caractéristique, on sait que le polynome minimal a un degré inférieur ou égal à 3.

On en déduit que e₂, f(e₂), f(e₂)², f(e₂)³ sont forcément liées. En cherchant la combinaison linéaire entre ces expressions on obtient que :
f(e₂)³=6e₂-11f(e₂)+6f(e₂)²
donc tu en déduis que
_f,e2=X³-6X²+11X-6

or comme le polynome minimal est de degré 3 et que
_f=ppcm(_f,e1,_f,e2,_f,e3))
tu en déduis en que
_f=X³-6X²+11X-6=(X²-4X+3 )(X-2)

Aprés pour la b), il dit que le polynome caractéristique est égal au polynome minimal (car le polynome minimal divise le polynome caractéristique et que le polynome caractéristique est de degré 3) donc tu en déduis que:
_f=_f=(X²-4X+3 )(X-2)=(X-1)(X-3)(X-2)

donc comme ce polynome est scindé, f est diagonalisable

et ensuite pour calculer f¹⁰⁰ y suffit de mettre la matrice sous forme diagonale.

Voila, le prof fait tout le temps cette méthode et apparement ça marche...
(ya juste ce truc: pourquoi le polynome caractéristique est forcément de degré 3?)

(par contre la où je galère pour ce td c'est sur les exos 4 et 6 donc si tu connais la méthode...)

Bonjour
le polynôme caractéristique est de degré 3 car on développe un déterminant 3*3 pour le trouver, et que dans ce déterminant l'indéterminée n'apparait que sur la diagonale.

pourquoi le polynome caractéristique est forcément de degré 3?)
Bein ca c'est trivial, quelle est la définition du polynôme caractéristique ?



Aprés pour la b), il dit que le polynome caractéristique est égal au polynome minimal (car le polynome minimal divise le polynome caractéristique et que le polynome caractéristique est de degré 3)

Eventuellement au signe près mais ça n'a pas tant d'importance.

Merci, je suis dans le groupe de de l'hindou, il a pas fait de correction de cette feuille de td (faut dire à la fin j'étais le seul élève).

Merci, je vais étudier tout ça.

(par contre la où je galère pour ce td c'est sur les exos 4 et 6 donc si tu connais la méthode...)

Je les ai pas encore touchés, si j'avance dessus, je n'hésiterai pas à t'en faire part.

Bonjour

On utilise le théorème de Cayley-Hamilton qui dit que si est le polynôme caractéristique de f on a _f(f)=0. Bien sûr si on a déjà le plynôme minimal, c'est encore mieux...

bah en gros Q ne te sers a rien... puisqu'il est multiplié au polynome minimal... (annulateur) donc quand tu remplace par f tu auras
(*Q)(f)=(f)*Q(f)=0*Q(f)=0

Je pense qu'on peut regarder ce que vaut x^100 dans
, ce qui permet d'éviter un maximum de calcul sur la matrice elle même.

je ne vois pas comment déterminer ces coefficients a,b et c.

Tu sais que

X^3-6X^2+11X-6=0
donc
X^3=6X^2-11X+6

donc X^100= ?

Tu peux y aller avec une division euclidienne ou y aller étape par étape, ce qui semble long...

X^100 = qqchose(X) * (X^3-6X^2+11-6) + reste(X)

ce qui nous intéresse c'est le reste(X) puisque lorsque l'on évalue en X=f on trouve
f^100 = 0 + reste(f)

ok, mais si on va par une division euclidienne, elle est longue non? et on est obligé d'effectuer complètement la division euclidienne pour déterminer reste(f)?

ok, je viens de comprendre merci otto.

Mais comment on peut calculer en 1,2 et 3. je saisis pas.

Bonjour

Jeanseb : _{on écrit tu couds, mais tu résous}

Merci Jeanseb

> romu  

> lafol