Bonjour

La matrice de f dans la base F est faite de l'écriture (en colonnes ) des images des vecteurs de la base. Tu les prends l'un après l'autre, tu calcules son image, tu mets en colonne et voilà!

Le premier vecteur de la base est x. Tu calcules son image:

f(x) = 0. x + 1 . f(x) + 0 . f²(x) + 0. chaque autre vecteur de la base. Donc la première colonne est:

0
1
0
0
0
.
.
0

Le 2ème vecteur de la base est f(x). Tu calcules son image:

f(f(x)) = f² (x) = 0. x + 0 .f(x) + 1 . f2() + 0 . f3(x) et tous les autres 0. Donc la 2ème colonne est:

0
0
1
0
0
.
.
0


etc... le 1 se décale a chaque fois.

Pour la dernière colonne, f( f^n-1(x)) = fⁿ(x) = 0 d'après l'hypothèse, donc la dernière colonne est nulle.

OK?

Ce problème a été posé ya pas si longtemps que ça.

Bonjour.

Je suppose donc que tu as réussi à prouver que :

est une famille libre.

Donc, si dim(E) = n, est une base de E.

Tu sais que pour écrire A = Mat(f,) tu dois écrire en colonne les coordonnées des images par f des vecteurs de par rapport à .

Premier vecteur : x
Son image par f sera naturellement f(x). Et, les coordonnées de f(x) sur sont :
(0,1,0,...,0) : première colonne de ta matrice

Second vecteur : f(x)
Son image par f sera f²(x). Et, les coordonnées de f²(x) sur sont :
(0,0,1,0,...,0) : seconde colonne de ta matrice
.
.
.
Avant dernier vecteur : f^n-2(x).
Son image par f sera f^n-1(x). Et, les coordonnées de f^n-1(x) sur sont :
(0,0,...,0,1) : avant dernière colonne de ta matrice

Dernier vecteur : f^n-1(x).
Son image par f sera fⁿ(x) = 0. Et, les coordonnées de fⁿ(x) sur sont :
(0,0,...,0) : dernière colonne de ta matrice.

merci beaucoup a vous c'est devenu presque limpide en fait ds la theorie les ei sont simplement les elements de la base ok j'ai enfin enlever une grosse epine de sous mon pied merci a vous :)