Bonjour

C'est normal que tu trouves a un moment la matrice nulle... (elle a une forme particuliere ta matrice...)
Pour le B ou ca a l'air d'etre juste

si je trouve une matrice nulle est ce que par hasard c'est parce que je fais le produit de 2 matrices triangulaires supérieures ?

C'est parce qu'il y a aussi des zero sur la diagonales (en gros c'est une jolie nilpotente bien sympathique)

Non, ça ne suffit pas. Si une matrice est triangulaire supérieure avec des 0 sur la diagonale, tôt ou tard elle aura une puissance nulle. On dit qu'elle est nilpotente

ok , dernière question :

Montrer que pour tout n > ou égal à 0 :

A^n = (-1)^n * (I - nB + (n(n-1)/2)B²) et en déduire les coefficients de la matrice A^n .

Alors pour n = 0 , on se retrouve avec A^0 = I , ce qui correspond bien à la matrice identité .

Maintenant pour n > 0 on se retrouve soit avec :

(I - nB + (n(n-1)/2)B²) ou (I + nB - (n(n-1)/2)B²)

ici je dois utiliser un raisonnement par récurrence ou pas ?

si je prends un exemple , pour n = 2 ça me fait :

A² = I - 2B + B² ça me donne comme résultat :

A² =

1 -2 2
0 1 -4
0 0 1
Donc les coefficient de la matrice A^n seraient ils :

1 (1*-n) n
0 1 (2*-n)
0 0 1

merci

bah I et B commutent, apres tu utilises Newton... (normalement)

Tu peux aussi faire une récurrence, mais la formule du binôme c'est mieux.

mais quelle formule du binoem car sur wikipédia yen a pleins de formules ? et c'est du type (x+y)^n , je vois pas le rapport avec la formule de l'exercice...

A=-(I-B) donc Aⁿ=(-1)ⁿ(I-B)ⁿ et là tu appliques la formule du binôme.

Dis surtout que tu as le droit car tu as I et B qui commutent sinon la formule ne s'applique pas

alors si j'applique la formule ça me fait :

A^n =  (-1)^n * I^(n-k)*B^k

En fait je dois montrer que ta formule est égal à (-1)^n * (I - nB + (n(n-1)/2)B²) donc que :



(I - nB + (n(n-1)/2)B²) = (I-B)^n

Soit I - nB + B²

je ne vois pas...

C'est faux!

En général

avec

Après reflexion: si tu ne connais pas la formule du binôme, fais-le par récurrence, c'est très facile...

ben par récurrence :

pour n = 0 j'ai bien A^0 = I mais ensuite j'en reviens tjs au meme probleme , je dois prouver que (I - nB + (n(n-1)/2)B²) = (I-B)^n...et j'avoue que je nage là je comprends pas la question

Tu multiplies les deux membres par (I-B) et tu regardes...

(I-B)^n * (I-B) = (I-B)^(n+1)

(I - nB + (n(n-1)/2)B²) * (I-B) = I² - nBI + (n(n-1)/2)IB² - BI + nB² + B³(n(n-1)/2)

je regarde et je trouve des similitudes avec le binome de newton...

Et tu oublies que B³=0, que I²=I et que IM=MI=M pour toute matrice M. Fais ça et regarde les coefficients de I, B et B²

si je remplace ça me donne donc :

I - nBI + B²In n(n-1)/2 - BI + nB² , mais je ne sais plus où j'en suis , on est en réccurence ou en binome là ?

les coefficients de I sont 1 , nB , B²n(n-1)/2 , -B

non ça fait :

I - nBI + (n(n-1)B²I)/2 + nB²

Nous n'avons donc pas l'égalité , (I-B)^n n'est pas égal à (I - nB + (n(n-1)/2)B²) .

Pour répondre à ta question : les coefficients de I sont 1, -nB , n(n-1)/2)B²

quelqu'un pour m'aider à continuer l'aide de camélia svp ?

(I-nB+(n(n-1)/2)B)(I-B)=I-nB+(n(n-1)/2)B²-B+nB^2=I-(n+1)B+(n(n+1)/2)B² et ça c'est la formule où on a remplacé n par n+1.

camélia il me semble que tu n'as pas pris la bonne expression , tu m'as dit : multiplie les 2 membres par I-B , mais le 1er membre c'est :

(I-nB+(n(n-1)/2)B²)(I-B)

toi tu as écrit :

(I-nB+(n(n-1)/2)B)(I-B)

Faute de frappe; j'ai bien multiplié en tenant compte d'un B², comme tu peux le vérifier.

ok alors j'ai juste 2 dernières petites questions et je ne t'ennuie plus :

j'ai écrit ton calcul sur papier et ma foie je vois pas comment tu passes de ça :

I-nB + B + (n(n+1)2)B² - B + (n+1)B² à l'expression de départ qui est :

I - nB + (n(n-1)/2)B²) , que fais tu du (n+1)B² , par ailleurs n-1 et n+1 c'est pas pareil , dans la 1ere c'est n+1 et la seconde n-1...

Et la récurrence je vois pas où elle est

camélia je te remercie pour ton aide précieuse , c'est plus clair