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Anneau et pgcd : compréhension d'une preuve

Posté par
fusionfroide
10-01-08 à 22:31

Salut   

Soit l'anneau (\mathbb{Z},+,\times)

Soient 4$n,m \in \mathbb{Z}
4$\exist t \in \mathbb{Z} tel que 4$n\mathbb{Z}+m\mathbb{Z}=t\mathbb{Z} avec 4$t=pgcd(n,m)

En fait je comprends les calculs de la preuve, mais je ne vois pas à quoi servent les deux étapes suivantes :

** 4$n\mathbb{Z} \subset n\mathbb{Z}+m\mathbb{Z}=t\mathbb{Z} \Longrightarrow n\mathbb{Z} \subset t\mathbb{Z} \Longrightarrow n \in t\mathbb{Z} \Longrightarrow t/n

De même, 4$t/m

** Soit 4$\alpha \in \mathbb{Z} tel que 4$\alpha / n et 4$\alpha / m

4$\alpha /n \Longrightarrow \exist k \in \mathbb{Z} : n=\alpha k \Longrightarrow n \in \alpha \mathbb{Z} \Longrightarrow n\mathbb{Z} \subset \alpha \mathbb{Z}

De même, 4$\alpha /m \Longrightarrow m\mathbb{Z} \subset \alpha \mathbb{Z}

Voilà si quelqu'un pouvait m'expliquer en quoi ces deux étapes permettent de conclure ?

Merci

Posté par
Ksilver
re : Anneau et pgcd : compréhension d'une preuve 10-01-08 à 22:36

Salut !


en fait c'est la définition du pgcd (dans n'importe qu'elle anneau principal, on définit aussi le pgcd dans les anneau factorielle, mais c'est moins imédiat)



mais sinon on à montré que t|m et t|n donc t|pgcd(m,n)

et ensuite que pour tous a|m et a|n, (en particulier a=pgcd(m,n))
alors mZ+nZ = tZ est inclu dans aZ donc a|t

d'ou t=pgcd(m,n)

Posté par
fusionfroide
re : Anneau et pgcd : compréhension d'une preuve 10-01-08 à 22:37

merci bien Ksilver !

J'ai pas fait d'arithmétique en prépa :S donc j'ai un peu oublié !!



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