bonjour, j'aurais besoin d'une petite aide en algèbre, comment définit on un polynome irreductible dans le corps /p? est-ce les polynomes de classe differente de O?
Merci d'avance pour le temps que vous me consacrerez.
Bonjour,
non l'irreductibilité est la même que celle dans un anneau. A ne pas confondre avec la primalité.
donc les polynomes irreductibles sont ceux du premier degré et ceux que seules des constantes ou ls polynomes associés divisent? mais comment je peux trouver si un polynome est irreductible dans Z/pZ?
"mais comment je peux trouver si un polynome est irreductible dans Z/pZ?" >>> savoir si un polynome dans corps est iréductble est en géneral un probleme vraiment non trivial. ceci dans Z/pZ il y des technique un peu plus facile (c'est nettement plus simple que dans Q par exemple...).
enfait si je ne me trompe pas, un polynome de degré n est premier dans Z/pZ si et seulement si il est premier (dans Z/pZ) avec le polynome x^(p^(n-1))-x ce qui ce vérifie algorithmiquement assez facilement...
mais si tu as un polynome explicite, tu devrait peut-etre nous le donner....
il s'agit de X²+1 et on a prouvé auparavant que : il y a (p+1)/2 carrés dans ce corps et ( la je parle en terme de classe X^((p-1)/2)=+ ou - 1 ainsi que si X est un carré alors X^((p-1)/2)=1.
Pour un polynome de degré 2 c'est beaucoup plus simple : dans un corps quelconque un polynome de degré <= 3 est iréductible si et seulement si il n'as pas de racine.
donc en gros la question c'est de savoir si oui ou non (-1) est caré dans Z/pZ, ce qui ce fait tres bien avec les caractérisation qu'on ta donné.
Bonjour,
"enfait si je ne me trompe pas, un polynome de degré n est premier dans Z/pZ si et seulement si il est premier (dans Z/pZ) avec le polynome x^(p^(n-1))-x ce qui ce vérifie algorithmiquement assez facilement..."
a) si n =2 , ça voudrait dire qu'un polynôme de degré 2 est irréductible si et seulement il n'a pas de racine : oui c'est vrai
b) si n = 3 , ça marche aussi
c) si n =4 , prenons P un produit de facteurs irréductibles de degré 2 , ca veut dire que P a 4 racines dans Fp^2-Fp or elle ne sont pas racine de X^p^3-X : quelque chose m'a--til échappé ?
Par contre on a bien un critère algorithmique si P est premier avec tous les
Xp^i - X pour i =< n/2 .
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