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Niveau Maths sup
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Polynome irreductible dans Z/pZ

Posté par
aunenie
11-01-08 à 21:53

bonjour, j'aurais besoin d'une petite aide en algèbre, comment définit on un polynome irreductible dans le corps /p? est-ce les polynomes de classe differente de O?
Merci d'avance pour le temps que vous me consacrerez.

Posté par
otto
re : Polynome irreductible dans Z/pZ 11-01-08 à 22:16

Bonjour,
non l'irreductibilité est la même que celle dans un anneau. A ne pas confondre avec la primalité.

Posté par
aunenie
re : Polynome irreductible dans Z/pZ 11-01-08 à 22:19

donc les polynomes irreductibles sont ceux du premier degré et ceux que seules des constantes ou ls polynomes associés divisent? mais comment je peux trouver si un polynome est irreductible dans Z/pZ?

Posté par
Ksilver
re : Polynome irreductible dans Z/pZ 11-01-08 à 22:32

"mais comment je peux trouver si un polynome est irreductible dans Z/pZ?" >>> savoir si un polynome dans corps est iréductble est en géneral un probleme vraiment non trivial. ceci dans Z/pZ il y  des technique un peu plus facile (c'est nettement plus simple que dans Q par exemple...).

enfait si je ne me trompe pas, un polynome de degré n est premier dans Z/pZ si et seulement si il est premier (dans Z/pZ) avec le polynome x^(p^(n-1))-x ce qui ce vérifie algorithmiquement assez facilement...

mais si tu as un polynome explicite, tu devrait peut-etre nous le donner....

Posté par
aunenie
re : Polynome irreductible dans Z/pZ 11-01-08 à 22:37

il s'agit de X²+1 et on a prouvé auparavant que : il y a (p+1)/2 carrés dans ce corps et ( la je parle en terme de classe X^((p-1)/2)=+ ou - 1 ainsi que si X est un carré alors X^((p-1)/2)=1.

Posté par
Ksilver
re : Polynome irreductible dans Z/pZ 11-01-08 à 22:51

Pour un polynome de degré 2 c'est beaucoup plus simple : dans un corps quelconque un polynome de degré <= 3 est iréductible si et seulement si il n'as pas de racine.


donc en gros la question c'est de savoir si oui ou non (-1) est caré dans Z/pZ, ce qui ce fait tres bien avec les caractérisation qu'on ta donné.

Posté par
aunenie
re : Polynome irreductible dans Z/pZ 11-01-08 à 22:53

D'accord merci beaucoup pour vote aide!

Posté par
lolo217
re : Polynome irreductible dans Z/pZ 12-01-08 à 10:53

Bonjour,

"enfait si je ne me trompe pas, un polynome de degré n est premier dans Z/pZ si et seulement si il est premier (dans Z/pZ) avec le polynome x^(p^(n-1))-x ce qui ce vérifie algorithmiquement assez facilement..."

a) si n =2 , ça voudrait dire qu'un polynôme de degré 2 est irréductible si et seulement il n'a pas de racine : oui c'est vrai
b) si  n = 3 , ça marche aussi
c) si n =4 , prenons P un produit de facteurs irréductibles de degré 2 , ca veut dire que P a 4 racines dans Fp^2-Fp or elle ne sont pas racine de  X^p^3-X : quelque chose m'a--til échappé ?

Posté par
lolo217
re : Polynome irreductible dans Z/pZ 12-01-08 à 10:54

Par contre on a bien un critère algorithmique si P est premier avec tous les
Xp^i - X  pour  i =< n/2 .

Posté par
Ksilver
re : Polynome irreductible dans Z/pZ 12-01-08 à 12:10

oui tu as raison lolo je m'etais trompé, c'est le critère que tu donne qui marche bien



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