Niveau Maths sup

Réduction, racines de l'unité, Vandermonde

Posté par
H-Espace 12-01-08 à 11:45

Bonjour voila j'ai encore un probleme sur un DM... (Décidément...)

Donc voila la situation
On appelle $\tau_n$ le nombre $e^{\frac{2i\pi}{n}} \\$
Soit $A_n$ la matrice de Vandermonde $V_n{(1,\tau_n,...,\tau_n^n-1)$ et $G_n=TrA_n$
On me rappele que la Vandermonde de $(a_1,a_2,...,a_n)$ est pour $1 \le p \le n$ et $1 \le q \le n$ $a_{pq}=a_{q}^{p-1}$

1/On me demande de calculer $G_n$ pour n allant de 1 a 6
(Bon je suis pas sur mais je trouve 1 puis que des zéros...)

2/Soit r un entier relatif calculer $\Bigsum_{k=0}^{n-1}\tau_n^{kr}$
Quand r est un multiple de n je trouve encore 0 et sinon je trouve juste la somme des n premiers termes d'une suite géométrique... (Bref pas grand chose...)

3/On me demande ensuite de calculer $A_n.\bar{A_n}$ . En déduire que $A_n$ est régulierer et donner une expression de $A_n^{-1}$ et de valeur absolue de det( $A_n$ )
Et la pour la multiplication je cale... Enfin je me ramene encore a une suite géométrie, et inévitablement je tombe sur 0... (Ma suite contient n terme, donc elle ne peut que s'annuler... j'essaye de voir quand ma raison vaut 1, je tombe sur une condition i+k-2=0... Chose qui est fausse quand je vérifie avec $A_3.\bar{A_3}$ et $A_4.\bar{A_4}$ )

Je vous remercie pour l'aide (Bon j'ai posé les premieres questions je pense que si j'ai faux j'aurais faux ailleurs...

Posté par re : Réduction, racines de l'unité, Vandermonde 12-01-08 à 14:35

J'ai le chic pour avoir des exo que personne ne veut...

Posté par re : Réduction, racines de l'unité, Vandermonde 12-01-08 à 14:52

Bonjour H-espace

Moi aussi je trouve la trace nulle pour n>1.
Pour 2) si r est un multiple de n, _n^r=1, donc la somme vaut n.

Sinon, ça m'a l'air de dépendre de l'ordre de $e^{2ir\pi/n}$ dans le groupe multiplicatif des racines n-èmes. C'est certainement 0 si c'est une racine primitive, et j'ai l'impression que c'est aussi 0 dans les autres cas, mais il faut regarder de plus près...

Posté par re : Réduction, racines de l'unité, Vandermonde 12-01-08 à 14:57

Camélia un grand merci... J'allais oublier de vérifier si la raison était égale a 1 ou pas...

Posté par re : Réduction, racines de l'unité, Vandermonde 13-01-08 à 12:04

Bonjour H-espace

En faisant des maths de tête devant un écran, on dit des bêtises. On reprend tout à 0... Pour simplifier, je note $t=e^{2i\pi/n}$

Si j'ai bien compris l'énoncé, les coefficients de la matrice A_n valent a_p,q=t^(p-1)(q-1). On a donc

$Tr(A_n)=1+t^2+t^4+...+t^{(n-1)^2}$

Ce n'est pas nul, (sauf pour n=2), mais je n'ai pas réussi à arranger mieux.

Ensuite: si t^r ne vaut pas 1, on a
$\sum_{k=0}^{n-1}t^{kr}=\frac{1-t^{nr}}{1-t^r}=0$
car tⁿ=1.

Puis: En posant $B_n=A_n\ \overline{A_n}$ et en tenant compte du fait que le conjugué de t^k est t^-k on trouve

$b_{p,q}=\sum_{k=1}^na_{p,k}\overline{a_{k,q}}=\sum_{k=1}^na^{(p-1)(k-1)}a^{-(k-1)(q-1)}=\sum_{k=0}^{n-1}a^{k(p-q)}$

Donc b_p,p=1 et tous les autres sont nuls.

On a donc $A_n\ \overline{A_n}=nI_n$
ce qui donne bien l'inverse de A_n, mais pas en fonction du déterminant de A_n.

En espérant n'avoir pas fait d'autres erreurs...

_{Tu sais ce qu'est un H-espace?}

Posté par re : Réduction, racines de l'unité, Vandermonde 13-01-08 à 12:39

Je me rend compte aussi de mon erreur lors de la réécriture... Car $2+\tau_3^2$ aura beaucoup de mal a faire 0...

(Euh un H-Espace mis a part une petite bouboule dans un jeu video, je pense que ca doit etre pour un espace vectoriel de dimension n un sous espace vectoriel de dimension n-2... (Tentative bidon d'essayer de calquer la def d'un hyperplan...))

Posté par re : Réduction, racines de l'unité, Vandermonde 13-01-08 à 12:43

Euh c'est le calcul de G3...

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