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Intersection quelconque de tribu.

   
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autreIntersection quelconque de tribu.

#msg1575560 Posté le 12-01-08 à 12:49
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Bonjour,

je n'arrive pas à démontrer la propriétés suivantes :
l'intersection d'une famille quelconque de tribus est toujours une tribu : T:=\cap_{i\in I} T_i est une tribu.

J'ai essayé d'écrire : ^c(\cup_{i\in I} \,^cT_i)=\cap_{i\in I} T_i.
^c T_i est bien une tribu, mais lorsque on passe à l'union, celle-ci doit être dénombrable non ?
re : Intersection quelconque de tribu.#msg1575706 Posté le 12-01-08 à 13:42
Posté par Profilromu romu

Salut, tu prends une famille \mathcal{A} de tribus sur un ensemble E,

et donc tu veux montrer que \bigcap_{\mathcal{T}\in \mathcal{A}} \mathcal{T} est une tribu.

1) pour tout \mathcal{T}\in \mathcal{A}, E\in \mathcal{T}, donc E\in \bigcap_{\mathcal{T}\in \mathcal{A}} \mathcal{T}.

2) Soit A\in \bigcap_{\mathcal{T}\in \mathcal{A}} \mathcal{T},

ie pour tout \mathcal{T}\in \mathcal{A}, A\in \mathcal{T}, donc A^c \in \mathcal{T},

et donc A^c\in \bigcap_{\mathcal{T}\in \mathcal{A}} \mathcal{T};

3) Soit (A_n)_n une famille de \bigcap_{\mathcal{T}\in \mathcal{A}} \mathcal{T},

pour tout \mathcal{T}\in \mathcal{A}, on a \bigcup_{n} A_n \in \mathcal{T} (car pour tout n A_n\in \mathcal{T}),

donc \bigcup_{n} A_n \in \bigcap_{\mathcal{T}\in \mathcal{A}} \mathcal{T}.
re : Intersection quelconque de tribu.#msg1575738 Posté le 12-01-08 à 13:51
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Salut romu!
merci, j'ai bien compris.
j'ai une petite question qui suit, on me demande de calculer :
\sigma(\{A\}), \sigma(\{A,B\}) et \sigma(\{A,B,C\})
(tribu engendré par la tribu T:={A}, etc)

Danc chacun des cas, comme ce sont des tribus, il y a E et son complémentaire cad \empty.
Cas 1 :
C'est la plus petite tribu qui contient A, donc elle contient aussi A^c.
\sigma(\{A\})=\{E,\empty,A,A^c\}

Cas 2 :
C'est la plus petite tribu qui contient A et B, donc elle contient aussi A^c et B^c.
\sigma(\{A\})=\{E,\empty,A,A^c,B,B^c\}

Cas 3 :
C'est la plus petite tribu qui contient A, B et C, donc elle contient aussi A^c, B^c et C^c.
\sigma(\{A\})=\{E,\empty,A,A^c,B,B^c,C,C^c\}

est-ce correct ?
re : Intersection quelconque de tribu.#msg1575753 Posté le 12-01-08 à 13:56
Posté par Profilromu romu

pour le cas oui, pour le cas 2 et 3 je ne crois pas (ça grossit vite les tribus), n'oublie pas que c'est stable par intersection (dénombrable) et par union (dénombrable),

dans le cas 2, tu dois avoir des éléments du genre  A\cap B, A\cap B^c, ...
re : Intersection quelconque de tribu.#msg1575761 Posté le 12-01-08 à 13:59
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Dans le cas 2:
\sigma(\{A,B\})

Il y a obligatoirement E, \empty, A et B.
Comment on sait si "ça suffit", ou s'il "en manque" ?
re : Intersection quelconque de tribu.#msg1575792 Posté le 12-01-08 à 14:10
Posté par Profilromu romu

ben faut faire toutes les intesections, les unions possibles, je ne sais pas si il y a un moyen de vérifier si on les a tous ou pas.
re : Intersection quelconque de tribu.#msg1575802 Posté le 12-01-08 à 14:12
Posté par Profilromu romu

pour le cas 3, si je me souviens bien, il y a 42 éléments, on a du te donner cet exo pour te montrer que ça grossit vite, ça vaut peut être pas le coup (à part si tu as beaucoup de temps devant toi) de les chercher tous.

Je pense que tu peux te limiter aux deux premiers cas.
re : Intersection quelconque de tribu.#msg1575812 Posté le 12-01-08 à 14:15
Posté par Profilrobby3 robby3

salut tout les eux!
H_aldnoer,dans ta question,tu voulais pas préciser que A,B,C formaient une partittion de l'univers de départ?
re : Intersection quelconque de tribu.#msg1575828 Posté le 12-01-08 à 14:19
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

en fait dans le cas 3, il y a 2^3 éléments.
il est dit que dans le cas généralt, \sigma(\{A_1,...,A_n\}) il y a 2^n éléments.
re : Intersection quelconque de tribu.#msg1575836 Posté le 12-01-08 à 14:21
Posté par Profilrobby3 robby3

justement H_aldnoer,ceci est vrai seulement (du moins je crois) si A,B,C forment une partition de Oméga(univer du possible)
re : Intersection quelconque de tribu.#msg1575837 Posté le 12-01-08 à 14:21
Posté par Profilromu romu

avec l'hypothèse qu'a donné robby alors (que je salue au passage )
re : Intersection quelconque de tribu.#msg1575853 Posté le 12-01-08 à 14:26
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

A,B et C forment une partition de E ça veut dire que A\cap B\cap C = E et A\cap B=A\cap C=B\cap C=\empty ?
re : Intersection quelconque de tribu.#msg1575883 Posté le 12-01-08 à 14:33
Posté par Profilromu romu

euh oui mais c'est A\cup B \cup C = E plutôt
re : Intersection quelconque de tribu.#msg1575900 Posté le 12-01-08 à 14:37
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

oui, je me suis planté!
comment on trouve alors 2^3 éléments dans le cas 3 ?
re : Intersection quelconque de tribu.#msg1575942 Posté le 12-01-08 à 14:47
Posté par Profilromu romu

je sais pas mais il me semble que tu les as trouvé dans ton post de 13h51.
re : Intersection quelconque de tribu.#msg1576019 Posté le 12-01-08 à 15:03
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

mais dans le cas 2 j'en trouve 6!
re : Intersection quelconque de tribu.#msg1576081 Posté le 12-01-08 à 15:18
Posté par Profilromu romu

oui et j'en vois pas d'autres, seulement, il n'y a aucune raison de croire qu'il y a 2^2 éléments, sans contredire ta formule.

Pour que ce soit le cas il faudrait que \{A,B\} soit une partition de E (et non \{A,B,C\}), et à cette condition-là tu aurais

A^c=B et B^c=A, donc on aurait bien 4 éléments.
re : Intersection quelconque de tribu.#msg1576108 Posté le 12-01-08 à 15:24
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Si {A,B} forment une partition de E, pourquoi A^c=B ?
Car A\cup B=E ?
re : Intersection quelconque de tribu.#msg1576119 Posté le 12-01-08 à 15:27
Posté par Profilromu romu

oui et car A\cap B=\emptyset.
re : Intersection quelconque de tribu.#msg1576145 Posté le 12-01-08 à 15:30
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

donc dans le cas 3, on a par exemple A^c=B\cup C
re : Intersection quelconque de tribu.#msg1576154 Posté le 12-01-08 à 15:32
Posté par Profilromu romu

oui
re : Intersection quelconque de tribu.#msg1576163 Posté le 12-01-08 à 15:33
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Dans ce cas inutile de le rajouter car on a déjà B et C, non ?
re : Intersection quelconque de tribu.#msg1576171 Posté le 12-01-08 à 15:35
Posté par Profilromu romu

ben disons qu'il faut dire A^C ou B\cup C, tu appelles cet ensemble comme tu veux, mais faut quand même signaler qu'on a cet ensemble.
re : Intersection quelconque de tribu.#msg1576182 Posté le 12-01-08 à 15:37
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Donc on a, si A,B et C forment une partition de E :
\sigma(\{A,B,C\})=\{E,\empty,A,A^c,B,B^c,C,C^c\}

Mais A^c=B\cup C donc \sigma(\{A,B,C\})=\{E,\empty,A,B,B^c,C,C^c\} non ?
Car si on a B et C on a l'union puisque c'est une tribu ??
re : Intersection quelconque de tribu.#msg1576198 Posté le 12-01-08 à 15:40
Posté par Profilromu romu

non il faut mettre A^c, c'est bien un élément de sigma(A,B,C) puisque comme tu dis on a l'union.
re : Intersection quelconque de tribu.#msg1576210 Posté le 12-01-08 à 15:41
Posté par Profilromu romu

dans la théorie des ensembles,

on te dit que pour un ensemble E, on peut énoncer en extension tous ses éléments avec la notation suivante:

E={tous les élements de E}

et marque tous les éléments même si il y en a un qui est l'union ou la somme,... de deux autres éléments.
re : Intersection quelconque de tribu.#msg1576224 Posté le 12-01-08 à 15:44
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Je ne sais pas trop si j'ai compris, j'essaye pour :
\sigma(\{A,B,C,D\})=\{E,\empty,A,B,C,D,A^c,B^c,C^c,D^c\} il me manque quoi pour arriver à 2^4 éléments ?
(toujours avec \{A,B,C,D\} formant une partition de E)
re : Intersection quelconque de tribu.#msg1576238 Posté le 12-01-08 à 15:47
Posté par Profilromu romu

les unions de deux éléments.
re : Intersection quelconque de tribu.#msg1576244 Posté le 12-01-08 à 15:47
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

pourquoi uniquement 2 éléments ?
re : Intersection quelconque de tribu.#msg1576264 Posté le 12-01-08 à 15:50
Posté par Profilromu romu

les unions de trois éléments coincident avec le complémentaire du 4e qui est déjà dans la liste. l'union des quatre éléments donne E.
re : Intersection quelconque de tribu.#msg1576284 Posté le 12-01-08 à 15:54
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Comme il y a 4 ensembles, on a 2 parmi 4 choix d'union de deux éléments possibles cad 6.
En rajoutant les 10 que l'on a déjà, on en a bien 16=24 ?
re : Intersection quelconque de tribu.#msg1576288 Posté le 12-01-08 à 15:54
Posté par Profilromu romu

voilà
re : Intersection quelconque de tribu.#msg1576305 Posté le 12-01-08 à 15:57
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

\sigma(\{A,B,C,D,E\})=\{E,\empty,A,B,C,D,E,A^c,B^c,C^c,D^c,E^c\}

il faut ici rajouter 2 parmi 5 choix possibles d'union de deux ensembles, ainsi que 3 parmi 5 choix possibles d'union de trois ensembles.

12+C_5^2+C_5^3=12+10+10=32=2^5
re : Intersection quelconque de tribu.#msg1576316 Posté le 12-01-08 à 15:59
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

comment arriver au résultat général ?

on a déjà E et \empty.
puis on a les n éléments A_1,...,A_n.
ainsi que les n complémentaires A_1^c,...,A_n^c.

On en a donc 2n+2.

il faur rajouter C_n^2+C_n^3+...+C_n^{n-1}
On a donc 2n+2+C_n^2+C_n^3+...+C_n^{n-1}=2^n ?
re : Intersection quelconque de tribu.#msg1576318 Posté le 12-01-08 à 16:00
Posté par Profilromu romu

oui donc sigma({A,B,C,D,E}) n'est pas égal à ce que tu dis.
re : Intersection quelconque de tribu.#msg1576325 Posté le 12-01-08 à 16:01
Posté par Profilromu romu

je ne sais pas il faudrait voir quelles sortes d'ensembles tu rajoutes à chaque étape.
re : Intersection quelconque de tribu.#msg1576339 Posté le 12-01-08 à 16:05
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

On prend toujours le cas ou les A_1,...,A_nforment une partition de E.
On est d'accord qu'il y a déjà 2+2n éléments ?
re : Intersection quelconque de tribu.#msg1576353 Posté le 12-01-08 à 16:08
Posté par Profilromu romu

oui
re : Intersection quelconque de tribu.#msg1576364 Posté le 12-01-08 à 16:10
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Ensuite on rajoute l'union de deux éléments, comme il y a n éléments, on a C_n^2 choix possibles ?
re : Intersection quelconque de tribu.#msg1576495 Posté le 12-01-08 à 16:50
Posté par Profilrobby3 robby3

euh je crois que là tu va aussi compter A1 union A1....An union An... non?
re : Intersection quelconque de tribu.#msg1576973 Posté le 12-01-08 à 19:14
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

et pourquoi ?
re : Intersection quelconque de tribu.#msg1577210 Posté le 12-01-08 à 20:45
Posté par Profilromu romu

oui c'est vrai, quand on compte A_1^c,A_2^c,...,A_n^c, on compte aussi les unions de n-1 éléments de \{A_1,A_2,...A_n\}, vu que pour tout i on a A_i^c=\bigcup_{j\neq i} A_j.
re : Intersection quelconque de tribu.#msg1577250 Posté le 12-01-08 à 21:00
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

En fait il ne faut pas compter les unions de n-1 éléments vu que A_1^c=\cup_{k=2}^{n-1} A_k non ?
re : Intersection quelconque de tribu.#msg1577294 Posté le 12-01-08 à 21:15
Posté par Profilromu romu

oui c'est ça, juste que A_1^c = \bigcup_{k=2}^n A_k plutôt et que c'est pareil pour les autres A^c_i.
re : Intersection quelconque de tribu.#msg1577307 Posté le 12-01-08 à 21:21
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Ok.
Mais je ne comprend pas pourquoi le nombre de choix possibles pour l'union de deux éléments n'est pas C_n^2
re : Intersection quelconque de tribu.#msg1577400 Posté le 12-01-08 à 21:55
Posté par Profilrobby3 robby3

parce que sauf erreur ce que représente ce nombre,c'est le nombre possible de permutation de deux objets parmis n.
Mais parmis ces permutations d'objets,dans le cas présent les "permutations" de ces objets sont des unions...;on peut compter la permutation de deux objets identiques...il faut préciser qu'on ne compte pas les unions d'objets similaires.

Je sais pas si c'est trés clair.
A bientot!
re : Intersection quelconque de tribu.#msg1577780 Posté le 13-01-08 à 09:41
Posté par Profilstokastik stokastik

Remarque: Le nombre d'éléments d'une tribu sur un ensemble fini E est toujours de la forme 2^p. En effet, l'ensemble des parties P(E) est un groupe pour la différence symétrique \Delta(A,B)=(A\cup B) \setminus (A\cap B), et toute tribu sur E est un sous-groupe de celui-ci => théorème de Lagrange
re : Intersection quelconque de tribu.#msg1577782 Posté le 13-01-08 à 09:44
Posté par Profilstokastik stokastik



Vous vous plantez avec le 2n+2 car vous recomptez ces éléments. En effet si A,B,C,D forment une partion de E, alors A^c=B\cup C \cup D.

Il faut compter les unions de 0 élément (uniquement l'ensemble vide), les unions de 1 éléments, ..., les unions de n éléments (uniquement E), ce qui donne \sum_{k=0}^n C_n^k = 2^n.
re : Intersection quelconque de tribu.#msg1578757 Posté le 13-01-08 à 14:21
Posté par Profilrobby3 robby3

voilà!!
Stokastik l'a dit plus clairement!
Merci!

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