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Idéal principal

Posté par
fusionfroide
12-01-08 à 18:01

Salut

Je dois montrer que 4$I=\{p(X) \in \mathbb{Q}[X]/p(\sqrt{2+\sqrt{2}})=0\} est un idéal principal de 4$\mathbb{Q}[X]

Je ne sais pas du tout comment procéder !

Voici ce que j'ai dans mon cours :

Pour 4$a \in A, (a)=\{x.a/x\in A\} s'appelle l'idéal principal engendré par 4$a. On le note 4$A.a

Je sais aussi que tout idéal 4$I de 4$K[X] est principal.

Voilà merci pour votre aide précieuse

A+

Posté par
Ksilver
re : Idéal principal 12-01-08 à 18:08

Salut !


euh... si tu sais déja que tous idéeal est principale tu as juste à vérifier que I est un idéeal, ce qui est assez imédiat (soit tu vérifie la définition, soit tu dit juste que c'est le noyaux d'un morphisme...)

Posté par
fusionfroide
re : Idéal principal 12-01-08 à 18:10

Salut Ksilver !

Ok c'est direct

Merci !

Posté par
fusionfroide
re : Idéal principal 12-01-08 à 22:49

Bon pour montrer que I est un idéal :

Soit p(X) et p'(X) dans I

Montrons que p(X)-p'(X) \in I

Là je peux évaluer en X=\sqrt{2+\sqrt{2}} ?

Posté par
conejita
re : Idéal principal 12-01-08 à 23:06

ça c'est pour montrer que I est une groupe mais il faudra aussi montrer que si pI et q alors p.qI
et q.pI.

Posté par
Ksilver
re : Idéal principal 12-01-08 à 23:07

tu dois montrer que :

c'est un groupe additif (ce qui ce résume en si x et y sont dans I, x-y est dans I), et pour tous a dans l'anneau, p dans l'ideal ap est dans l'ideal.

ce qui ce fais à chaque fois en évaluant en u=sqrt(sqrt(2)+2)

Posté par
robby3
re : Idéal principal 12-01-08 à 23:08

(désolé pour le dérangement?
tout idéal principal n'est pas bilatère?)

Posté par
conejita
re : Idéal principal 12-01-08 à 23:12

"Montrons que p(X)-p'(X)I"
Tu n'as pas besoin d'évaluer X=(2+2)
il suffit de faire:
(p-p')((2+2))=p((2+2))-p'((2+2))=0 car p((2+2))=0 et p'((2+2))=0 puisque p et p'I donc p-p'I

Posté par
conejita
re : Idéal principal 12-01-08 à 23:13

"ce qui ce fais à chaque fois en évaluant en u=sqrt(sqrt(2)+2)"

selon moi ce n'est pas utile...

Posté par
Rodrigo
re : Idéal principal 12-01-08 à 23:40

Il est plus économique que P->P(sqrt(2)) est clairement un homomorphisme d'anneau son noyau est alors un idéal...qui est principal puisque K[X] est principal.

Posté par
conejita
re : Idéal principal 12-01-08 à 23:43

Est ce vraiment plus court que d'utiliser le fait que (p-p')(x)=p(x)-p'(x)?
J'en doute ...

Posté par
fusionfroide
re : Idéal principal 12-01-08 à 23:43

Salut Rodrigo,

Je sais qu'un idéal est le noyau d'un homéomorphisme d'anneaux.

Mais a-t-on toujours que le noyau d'un homomophisme d'anneaux est un idéal ?

Merci

Posté par
Rodrigo
re : Idéal principal 12-01-08 à 23:45

Oui.
Si f(i)=0, f(j)=0, alors f(i-j)=0 et f(xi)=f(x)f(i)=0.



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