Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Polynômes et division
Bonjour à tous !
Voilà j'aurai besoin d'aide pour un exercice...
Soient F et G 
[X] de degrès respectif m et n, avec m 
n 0
Montrer sans utliser la division Euclidienne qu'il existe un polynôme T de degrès au plus n-1 tel que F(a) = T(a) pour toute racine a du polynôme G.
Je n'aurai auncun problème à faire cette question à l'aide d'une division Euclidienne, en montrant que T est le reste de la division Euclidienne de F par G, mais c'est bien précisé qu'il faut utiliser une autre méthode, et là je n'ai pu d'idée !
Merci d'avance !
Salut,
soit a1,...,ap les racines distinctes de G.
Il faut que tu considères l'application:
:p-1[X] ---> p
P ---> (P(a1),...,P(ap))
où p-1[X] désigne l'ensembles des polynômes de degré 
à p-1.
Montre que c'est un isomorphisme d'espaces vectoriels et essaie de conclure.
houlà désolé, voilà une autre solution:
soit a1,...,ap les racines distinctes de G
On pose:
T1(X)=(X-a2)...(X-ap)
T2(X)=(X-a1)(X-a3)...(X-ap)
T3(X)=(X-a1)(X-a2)(X-a4)...(X-ap)
...
Tp-1(X)=(X-a1)...(X-ap-2)(X-ap)
Tp(X)=(X-a1)...(X-ap-1)
On a deg(Ti)=p-1n-1
Ti(aj)= 0 si i
j
0 si i=j
Et enfin, on pose:
T(X)=F(a1)T1(X)/T1(a1)+...+F(ap)Tp(X)/Tp(ap) et je pense que ce polunôme répond à ta question.
A toi de vérifier tout ça.
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac