Sous-groupes distingués

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Sous-groupes distingués

Posté le 19-01-08 à 17:37

Posté par Cocobongo

Bonjour à tous, voilà je prépare le CAPES et j'ai un Oral dans une semaine sur l'exposé n°27: Composée d'homothéties et translations. Groupe des homothéties-translations.

Voilà mon prof m'a dit que ça serait bien de parler du fait que le groupe des translations est un sous-groupe distingué du groupe des dilatations (dilatation= homothétie ou translation), et du coup aussi de groupes quotients.

Je ne maitrise pas très bien le sujet, j'ai pris des bouquins, j'arrive très bien à montrer que le groupe des translations est distingué, mais pour ce qui est des groupes quotients, je bloque un peu, ne sachant pas quelle relation d'équivalence prendre pour quotienter le groupe.

De même je ne vois pas bien comment montrer que le groupe des homothéties de même centre est un sous-groupe non distingué.

Donc voilà si quelqu'un s'y connait bien et peut prendre un peu le temps de m'expliquer car là je suis un peu perdu, merci d'avance.

Nico

Posté le 19-01-08 à 21:26

Posté par klevia (invité)

salut, comment fais-tu pour montrer que l'ensemble T des groupes des translations et distingué dans le groupe des dilatations ?
j'ai une demo super simple mais je sais pas si elle bonne...

sinon pour ton groupe quotient , il me semble que f equivalent à g ssi f^(-1)o g appartient à T, c'est à dire si f^(-1)o g est une translation. Il me semble que cela signifie que les 2 homothéties ont même rapport ... à vérifier...

re : Sous-groupes distingués

Posté le 20-01-08 à 16:44

Posté par sloreviv

bonjour,

Citation :
je ne vois pas bien comment montrer que le groupe des homothéties de même centre est un sous-groupe non distingué

prends un exemple : les homothéties de centre O forment un sous groupe
soit g l'homothétie de centre A(1;0) de rapport 3 ;et h une homothetie de centre O rapport k different de 1 ;
$g^{-1}\circ h\circ g$ n'est pas une homothétie de centre O car $g^{-1}\circ h\circ g (O)=A$ O'=g(O) a pour coordonnées (-2;0); h(O')=O" a pour coordonnées (-2k;0) $g^{-1}(O$ avec A((1/3)*(-2k-1)+1;0)ce n'est pas O donc $g^{-1}\circ h\circ g$ ne fait pas partie des homothetie de centre O ,mais c'est une homothetie de rapport k

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