Les bons "contes" font les bons amis

Posté par Victor Victor

Les 158 pages d'un livre se répartissent entre différents contes comportant chacun le même nombre de pages, à l'exception de deux d'entre eux, d'ailleurs consécutifs, qui comportent un nombre de pages différent. Un de ces deux compte comporte 45 pages de plus que celui qui le précède dans le livre. D'autre part, les quatre premiers contes réunis comptent autant de pages que les trois derniers réunis.
Quel est le nombre de pages du cinquième conte ?

Remarque: Chaque conte comporte au moins deux pages et commence en haut de la page qui suit celle contenant la fin du conte précédent.

Bon courage.
Clôture de l'énigme : jeudi soir.

Posté par zineb (invité)

j'ai la prétention de tenter qqc ... qui sait ?

alors voilà j'appelle
x le nombre total de contes
a le nombre de pages des contes "normaux"
b le conte qui a 45 pages de plus que celui qui le précède
c le deuxième conte qui n'est pas comme les autres

on peut faire quelques remarques préliminaires
a2
x5

I.PREMIER CAS
on étudie un premier cas, celui où tous les contes a sont au début suivis d'abord du conte b et enfin du conte c.
on peut ecrire d'apres nos hypothèses :
b=45+a
158=(x-2)a+b+c  (dans cet ordre)
on sépare deux cas :
si x>5 alors on peut écrire les égalités suivantes
4a=a+b+c et
b=45+a
donc c=2a-45
on obtient 158=(x-2)a+45+a+2a-45
           158=(x+1)a
les diviseurs de 158 sont 1 158 et 2 et 79
on peut alors voir pour x+1=79 et a=2 mais dans ce cas on aurait c=2a-45=-41 : absurde

on prend le deuxième cas : x=5 alors on a:
3a+b=a+b+c
c=2a
et b=a+45
on obtient alors
158=(x-2)a+a+45+2a
158=(x+1)a+45
113=(x+1)a  or 113 est un nombre premier donc il n'y a pas de solutions

on en conclut que de tout ce premier cas on ne retient aucune solution

II.DEUXIEME CAS:
on prend maintenant les mêmes inconnues mais l'ordre des contes b et c est inversés dans le livre de telle sorte que b=c+45
on a alors les équations suivantes
158=(x-2)a+c+b    (dans cet ordre)
b=c+45
on obtient alors
158=(x-2)a+2c+45

on distingue encore deux cas pour x
x>5
on ajoute les équations suivantes d'apres l'énoncé :
4a=a+c+b   =>  3a=2c+45

on a alors 158=(x-2)a+2c+45=(x+1)a+45
on retombe sur un des cas du I. qui est impossible

deuxième cas x=5 alors on a les égalités suivantes :
3a+c=a+c+b  => 2a=b
dans ce cas
158=(x-2)a+c+b
et c=b-45
et b=2a alors
158=(x-2)a+2b-45
158=(x-2)a+4a-45
203=(x+2)a

or les diviseurs de 203 sont 1 7 29 203 donc le couple qui convient est 203=7*29
x=5
a=29

la composition du livre est alors
3 contes "normaux" de 29 pages chacun (a)
puis un conte c tel que c=b-45
enfin un conte b tel que 2a=b

d'ou a=29
     c=13
     b=58

vérification (x-2)a+13+58=158

de ce deuxième cas on conclut que le cinquième conte qui contient b pages a en fait 58 pages

voila j'aurais tenté ma chance

Posté par franz franz

Le 5° (et dernier conte) comporte 58 pages.
(Les 4 premiers ont respectivement 29,29,29 et 13 pages).

Posté par frozen (invité)

On sait qu'il y a 158 pages en tout, et qu'il y a au minimum 5 contes(dans la question).

Comme il y a au moins un conte de plus de 45 pages, et qu'il y a au moins 5 contes, on peut calculer une moyenne de pages par conte (dans le cas limite où il y en aurait 5) :

158/5 = 31.6

On voit que la moyenne est plus petite que 45, donc on en déduit que le conte qui a au moins 45 pages se trouve parmi les 3 derniers.

Soit x le nombre de pages d'un des contes qui ont le même nombre de pages.

Soit n le nombre de pages du premier des 2 contes ayant un nombre de pages différent des autres, (et donc n + 45 celui du deuxième).

Supposons qu'il y ait 5 contes au total, et que les contes de n et n + 45 pages se trouvent dans les 3 derniers, on peut alors poser les équations suivante :

3*x + n = x + 2*n + 45
=> 2*x - n = 45      (1)

et

3*x +2*n + 45 = 158  (2)

On a 2 équations à 2 inconnues, et on trouve x = 29 et n = 13.

Le livre ressemblerait donc a ceci (séparé par contes):

______________________________
|  x  |  x  |  x  |  n  | n+45 |
|_____|_____|_____|_____|______|


Donc ma solution est que le cinquième conte à n + 45 = 58 pages.

Posté par titimarion (invité)

On va supposer qu'il y a 5 contes, j'ai pas le courage de chercher si c possible avec plus de contes et on demande une solution pas toute
Alors il y en a 3 qui ont x pages, 1 y page et 1 z page
z arrive après y
On a donc un sytème d'équation à 3 inconnus à résoudre
3x+y+z=158
3x+y=x+y+z (ce n'est pas forcément cela mais je pense que les autres ne fonctionnenet pas)
(y-x-45)(z-y-45)=0
Et la ce n'est pas trop compliqué
on obtient (113-6x)(7x-203)=0
que z=y+45 forcément car 113 est premier
et x=29,y=13 et z=58
Voila avec ca ca fonctionne
Et alors le dernier conte qui est le cinquième possède 58 pages.

Posté par claireCW (invité)

Le cinquième conte a 7 pages.

Si on prend le cas général, c'est à dire n le nombre de contes strictement supérieur à 7.

Soit C₄₅, le conte qui a 45 pages de plus que celui qui le précède, et appelons r son nombre de pages.

Soit C_q l'autre conte qui a un nombre de pages différent, et q son nombre de pages;

Soit p le nombre de pages des autres contes.

p > 2; q > 2, et r > 47 (2+45)
158 = (n-2)p + q + r
Si on appelle a, b,c et d le nombre de pages des 4 premiers contes, et x, y, z le nombre depages des 3 derniers contes
a+b+c+d = x+y+z

On note aussi que 158 = 2*79, avec 2 premier et 79 premier.

Si C₄₅ et C_q ne sont ni dans les 4 premiers, ni dans les 3 derniers :
a=b=c=d=x=y=z=p, odnc 4p=3p, ce qui est impossible, vu que p <>0

Si C₄₅ et C_q sont dans les 4 premiers :
2p+r+q = 3p, donc r+q = p, d'où p > 49. On ne pourra pas vérifier l'équation du nombre de pages totale, donc impossible

Si C₄₅ et C_q sont dans les 3 derniers :
4p = p+r+q, donc 3p = r+q
d'où 158 = (n+1).p  Pas de solution, puisque p > 2 et n+1 > 2

Si un seul des termes C₄₅ et C_q est dans les 4 premiers :
on a soit : 3p+q= 3p, soit 3p+r= 3p, ce qui est impossible.

Si un seul des termes C₄₅ et C_q est dans les 3 derniers :

Si c'est C_q :
4p=q+2p <==> q = 2p

Cela signifie aussi que C₄₅ est situé avant C_q, donc après un conte ayant p pages, donc que r = p + 45.
158 = (n-2).p + 2p + p + 45 = (n+1).p + 45, donc (n+1).p = 113. 113 est premier, donc pas de solution


Si c'est C₄₅ :
4p = r + 2p <==> r = 2p

Cela signifie aussi que C_q est situé avant C₄₅, donc que q = r - 45.

d'où 158 = (n-2)p + 2p + 2p - 45, donc 203 = (n+2).p

203 se décompose en produit de facteurs premiers :
203 = 7*29;
n> 7, donc n+2 = 29 et p = 7.

Il y a donc une solution, avec 27 contes, les deux contes ayant un nombre de pages différents étant situés en 24ème et 25 positions. Le 5ème conte a donc 7 pages.

Pour n7, il faut tout prendre au cas par cas, et je vais vous épargner les études, parce que c'est long à écrire, pour conclure de toute façon qu'il n'y a pas de solution.

Posté par did75 (invité)

58
(29-29-29-13-58)

Posté par zonotope (invité)

Le 5ième conte comporte 58 pages.

Développement :

Soit x le nombre de pages que comportent les contes ayant le même nombre de pages.
Soit y le nombre de pages que comporte le premier conte différent.
Soit z le nombre de pages que comporte le deuxième conte différent.

On sait d'après la donnée qu'il y a au moins 5 contes dans le livre.
Après plusieurs essais, on trouve qu'il y a exactement 5 contes et qu'ils sont dans cet ordre : x x x y z

Les contraintes du problème nous donnent 3 équations à 3 inconnues :
3x + y = x + y + z (égalité de pages entre les 4 premiers contes et les 3 derniers)
z = y + 45  ( le conte de z pages à 45 pages de plus que le précédant, y)
3x + y + z = 158 (la somme de toutes les pages vaut 158)
après résolution, on trouve :
x = 29
y = 13
z = 58

Donc le 5ième conte comporte z = 58 pages.

Posté par dad97 dad97

Bonsoir :

Le cinquième conte compte 58 pages

A près une tonne de calcul par disjonction de cas j'en suis arrivé que la seule répartition possible était :
1er conte : 29 pages
2ème conte : 29 pages
3ème conte 29 pages
4ème conte 13 pages
5ème conte : 58 pages

Salut

Posté par Victor Victor

Bonsoir à tous et bravo pour toutes ces bonnes réponses.

La réponse était bien 58 pages qui s'obtient, comme l'a dit dad97, par "une tonne de calcul par disjonction des cas". C'est un véritable casse-tête. Evidemment, on peut aussi avoir de la chance comme titimarion et supposer qu'il y a 5 contes (ce qui est effectivement le cas dans l'unique réponse à cette énigme).

Je suis désolé pour claire CW mais une erreur l'empêche de trouver la bonne solution. En effet, avec 25 contes de 7 pages, on obtient déjà 25*7=175 pages ce qui est bien supérieur aux 158 pages.

A bientôt.

Posté par titimarion (invité)

Ce n'était pas vraiment de la chance, j'avais aussi étudié les cas n>7, il n'y avait que le cas n=6 que je n'avais pas étudié

Posté par titimarion (invité)

Je voudrais savoir comment vous calculez les points pour le classement, depuis que je viens sur le forum, j'ai répondu à toutes les énigmes, donc en particulier toutes celles du mois de novembre et j'ai un nombre impair de points, j'ai un peu du mal à comprendre, et en plus i l y en a qui ont 10 points alors qu('il n' y a pas encore les résultats des 5 premières znigmes.
Mais bon en même temps je faids juste ça pour m'amuser et je viens de m'apercevoir qu'il y avait un classement.

Posté par dad97 dad97

Bonsoir titimarion,

Une réponse à ta question :

ce sont les posteurs d'énigmes qui attribuent les points des énigmes et ils on le privilège de pouvoir lire "en live" les réponses apportées ce qui fait qu'il peuvent commencer à attribuer les points même si l'énigme n'est pas terminée.

Pour la réponse à ta question sur l'imparité de ton score :
le principe des notations des énigmes est le suivant :
- 2 points pour une énigme dont la réponse est correcte.
- -1 pour une énigme dont la réponse est erronée.

si tu as répondu correctement à toutes les énigmes pour l'instant et que tu a un score impair c'est que ta réponse est erronée pour une énigme en cours qui a déjà été notée.

Si tu veux plus de précisions sur ces conditions :



Salut

Posté par titimarion (invité)

Merci mais c'était juste pour savoir

Posté par plumemeteore plumemeteore

Il y a au d'autres solutions. Par exemple en supposant que le conte g ayant 45 pages de plus que le précédent se trouve à la fin et l'autre au début.
soit p le nombre de page ordinaires et a celui de l'autre.
a+p+p+p = p+p+p+45; a = 45
nombre de pages en supprimant a et en supposant que g soit réduit à p : 158-45-45 = 68
68 = 2*34 = 4*17; 2 et 4 conviennent pour p
On peut avoir :
1 conte de 45 pages, suivi de 33 contes de 2 pages et 1 conte de 47 pages
1 conte de 45 pages, suivi de 16 contes de 4 pages et 1 conte de 49 pages

Posté par kiko21 kiko21

Bonjour,

> Plumemeteore

"...Il y a au d'autres solutions. Par exemple en supposant que le conte g ayant 45 pages de plus que le précédent se trouve à la fin et l'autre au début..."

C'est impossible car l'énoncé précise : "...à l'exception de deux d'entre eux, d'ailleurs consécutifs,..."

A+, KiKo21.