Forum des énigmes mathématiques :
DEFI 199 : L'atelier des 4 couleurs.

Bonjour,

Un artiste un peu excentrique vient d'acquérir un local de forme triangulaire qu'il souhaite aménager en atelier. Il s'agit en fait d'un triangle rectangle isocèle dont les côtés de l'angle droit mesurent 12 mètres. (D'autre part il n'y a aucune cloison intérieure.)

L'artiste a décidé de peindre les murs en bandes de couleur verticales, sur toute la hauteur des murs, en utilisant exactement 4 couleurs. De plus il veut que deux points des murs distants de plus de 7 mètres, mesurés horizontalement (au niveau du sol par exemple) ne soient jamais de la même couleur.

Démontrer que l'artiste ne pourra mener son projet à terme.

NB : On ne tiendra compte ni des portes ni des fenêtres (supposées peintes).




Bonne réflexion.

minkus

Le problème présente une symétrie évidente.
Je considère le triangle rectangle isocèle AA1A3 d'hypoténuse A1A3=7m.
Pour limiter l'impact de ce triangle sur son environnement, les segments AA1et AA3 devront être de la même couleur (couleur1).
Les segments A1A2 et A3A4 devront être respectivement de la couleur 2 et 3.
Les segments A4B et A2C devront être de la couleur 4. Or ces segments sont distants de plus de 7 m.
Donc le problème est impossible.
Si on admet une dissymétrie, la côté AB comportera par exemple 3 couleurs et AC 2 couleurs.
AA3 sera de couleur 1, A3A4 de couleur 2 et A4B de couleur3.
Le côté AC comportera les couleurs 1 et 4. Le segment C1C2 sera donc impérativement de couleur 2.
Si on utilise Al Khashi dans BA4C1, avec AA4 =7m (position optimale pour A4) et BC1=122 -7, on démontre que A4C1 est supérieur à 7m donc A3A4 et C1C2 ne peuvent être de la même couleur.

Bonjour

Très dur cette énigme !!
je prends comme 4 couleurs par exemple bleu, vert, jaune et noir:

bon le schéma si dessous représente la projection des murs de la chambre sur le sol, qui nous donne un triangle NBV: les extrémités de cette chambre sont de couleurs différentes car il sont distantes de plus de 7 mètres.
je prend donc d'une facon aléatoire la couleur Bleu pour L'extrémité B, la couleur noir pour l'extrémité N et la couleur verte pour l'extrémité V.
Ainsi comme on peut le voir sur le schéma :
tout point en dehors de [Bb1] [Bb2] (et en particulier sur [v2b2]) aura une couleur différente du bleu (1).
de même tout point en dehor de [Vv1][Vv2] (et en particulier sur [v2b2])aura une couleur différente du vert(2).
D'autre part aprrès un petit calcul on obtient h=62~8.48>7 or h=d(N,(VB)) donc tout point sur (VB)(et en particulier sur [v2b2]) sera distant de N d'une longueur > h donc > 7 d'ou tout point de [v2b2] aura une couleur différente du noir (3).
on déduit de (1), (2) et (3) que [v2b2] aura necessairement la couleur jaune.
or D=v2b1=v1b2=(218-1192) ~ 7.05 >7
donc le point le plus proche de b1 à gauche (qu'on notera b1')n'aura ni la couleur jaune, ni bleu ni verte donc b1' aura necessairement la couleur noir (4)
de même le point  le plus proche de v1 en haut v1' aura necessairement la couleur noir (5)
on déduit de (4) et (5) que v1' et b1' ont la même couleur (noir).
or la distance b1'v1'~b1v1=52 ~ 7.07 >7 donc b1' et v1' ne doivent pas avoir la même couleur , on peut conclure alors que l'artiste ne pourra mener son projet à terme.

<sub>Maintenant au cas ou les calculs son exigés les voilà:
- calcul de h: le triangle NHB est rectangle de plus l'angle NBH = 45° donc NHB est isocèle rectangle en H, pitaghore donne:2h²=12²==> h= 62.
- calcul de D':
le triangle Nb1v1 et rectangle isocèle en N, pitagore donne: 2x5²=D'² ==>D'=52
- calcul de D:
je l'ai calculé par projection dans le repère orthonormé (N,NB,NV)
soit v2' le projeté orthogonal de v2 sur l'axe de ordonnée(NV) on  obtient donc cos45 = Vv2'/7 ==>Vv2'=7/2, soit Y l'ordonnée de v2 on obtient donc Y=12-7/2.
maintenant sin45=v2'v2/7 = X/7 ==> X = 7/2
les coordonnée de b1 sont (5,0)
ainsi v2b1 = D = [(X-5)²+ Y²] = (218-1192).</sub>

et voilà merci bien l'énigme .

Bonjour,



Que veux dire ce message?

Si le point A est de la couleur, disons, bleue, alors le point F situé à 7+ devra être d'une autre couleur, disons, jaune.
Mais alors le point G est l'extrême limite où l'artiste peut utiliser le jaune. Il est à la distance 7 de F, donc à la distance de B.
Mais le point C ne peut être ni bleu, ni jaune, alors disons qu'il est vert.
Le point H situé à 7 de C est le dernier point qui peut être en vert. Il est à 5 de B.
Or , car leurs carrés valent respectivement 24 et 25. Il y a donc un espace entre B et C de points qui ne peuvent être ni bleu, ni jaune, ni vert.
Mais entre A et C, il y a des points aussi qui doivent être de la quatrième couleur. Ces points sont à une distance supérieure à 7 de ceux entre G et H. Voilà pourquoi l'artiste n'arrivera pas à réaliser son projet en toute rigueur.

Bonjour minkus

Il est possible d'inscrire dans le triangle deux trapèzes de côtés a = 24 - 122 7,029 m :
AEFD et BGDF.



Notons les quatre couleurs 1, 2, 3 et 4, et convenons de noter par exemple A1 si le point A est de couleur 1.
Les points A, B et C sont évidemment de couleurs différentes.
On a donc par exemple A1, B2, C3.
E est à plus de 7 mètres de A, B et C. Donc E4.
De même, on a G4.
Mais comme D est à plus de 7 mètres de A, B et G, on a forcément D3.
De même, on a forcément F3.
Mais il est impossible d'avoir D3 et F3 puisque D et F sont séparés par plus de 7 mètres.
Le peintre ne pourra donc pas mener son projet à terme.

Merci pour ce joli problème.

Cordialement
Frenicle

Bonjour à tous et à toutes et merci encore à Minkus.

Raisonnons par l'absurde en supposant l'atelier peint en 4 couleurs.

Restons au ras du sol. Voir ci-dessous le plan ABD de l'atelier. Soit C  le milieu de l'hypoténuse BD.

Les points A,B,C,D sont deux à deux à plus de 7 m. Ils devront donc utiliser les 4 couleurs permises (A bleu, B jaune, C rouge, D vert).
Utilisons A' à 4,98m de A et C' le point de BD qui se projette en A' sur AD.
La distance de C' à B est . C' est encore plus loin de A et D. Il n'est donc ni bleu ni vert ni jaune, mais rouge, comme A.

Le point A' est équidistant de D et C', à une distance de 7,02. Il est encore plus loin de B. Il n'est donc ni jaune, ni vert ni jaune, donc rouge comme A.
En échangeant au départ les rôles de B et D, on montrerait de même que le point A'', situé à 4,98 m de A, est bleu. La distance A'A'' est égale à la distance BC' donc > 7, ce qui est absurde (de justesse!) puisqu'ils sont de la même couleur.

A bientôt!

Les trois sommets et les milieu de l'hypothenuse sont de quatre couleurs differentes car chacun est respéctivement à plus de 7 mètres des trois autres

Posons
Milieu de l'hypothenuse = A de couleur (A)
Anglle droit = D de couleur (D)
Deux autres sommets B et C de couleurs (B) et (C)

Prenons un point d'un coté contenant B distant de 4,98 de l'angle droit D
Ce point ne peut etre que (D)

Prenons maintenant un point d'un coté contenant C distant de 4,98 de l'angle droit D
Ce point n'est clairement pas (A) ni (B) ni (C)                         ____________
De plus, ce point ne peut etre (D) En effet seul les points à moins de V 7² - 4,98²  = 4,92m
de D peuvent etre de couleur (D)

Il manque donc une 5eme couleur

Soit ABC isocèle rectangle en A. A B et C sont de trois couleurs différentes
Soient D et E respectivement sur AB et AC tels que 7/rac(2)<AD=AE<5, et F et G sur BC tels que 7<BF=CG<5rac(2).
DE>7 donc D et E sont de couleurs différentes, également différentes des couleurs de B et C.
DG>7 et EF>7 et E et F sont de couleurs différentes de B et C. S'il n'y a que 4 couleurs, F est de la couleur de D et G de la couleur de E. Mais AF=AG>7 A ne peut être d'aucune des 4 couleurs, d'où contradiction

Bonjour,

voici une petite démonstration par l'absurde qui s'appuie sur la construction suivante (voir le dessin au fur et à mesure) :

- les 4 couleurs disponibles sont : ROUGE VERT BLEU JAUNE

- prenons le milieu de l'hypoténuse et supposons qu'il est rouge

- aucun point situé dans le cercle rouge de rayon 7 ne peut donc être rouge

- mettons les 2 morceaux du coin en haut en vert et en bleu (on est obligé d'utiliser 2 couleurs différentes)

- ceci nous donne les 2 zones où le mur ne peut être ni bleu et ni vert (les 2 cercles bleu et vert de rayon 7)

- il reste donc une zone où la seule possibilité est le jaune

- sous cette zone, une plus petite zone où la seule possibilité est le bleu

- encore sous cette zone, une toute petite zone où la seule possibilité est le vert

- en dessous, le bout de mur qui fait le coin de l'angle droit ne peut être que rouge

- et voilà où ça coince : l'autre bout de mur qui fait l'angle droit (celui qui repart à l'horizontal) ne peut être d'aucune des 4 couleurs, car à moins de 7 mètres du rouge, du vert, du bleu et du jaune

Voilà, j'éspère que c'est assez clair ...

Le troisième côté du local mesure plus de 14 m.
Ce qui obige l'utilisation de 3 couleurs.

La quatrième couleur va être utiliser pour les côtés du triangle rectangle isosèle de 5 m dans le meilleur des cas (12-7).
L' hypothénuse est supérieure à 7 m ( 50 supérieur à 49 )
Donc la condition n' est pas respectée , l' artiste ne peut mener son projet à terme.

On note sa pièce OPQ, avec l'angle droit en O, et on créé un repère orthonormé, d'unité le mètre, tel que les deux cotés de la pièce forment les deux axes du repère.
On pose O de coordonnées (0,0), P(0,12) et Q(12,0). Enfin, on considère le point  P1(0,4.95) et Q1(4.95,0).
On remarque que la distance de P1 à Q1 vaut 4.95*racine(2) c'est à dire 7.00036 soit strictement plus que 7. De plus, la distance de P1 à P d'une part, de Q1 à Q d'autre part, sont strictement supérieures à 7 (valent 7.05).
Pour finir, on note P2(4.95,7.05), qui appartient au mur hypothénuse, et Q2(7.05,4.95). On remarque que d(Q,Q2)>7, d(P,P2)>7.
Maintenant, peinturlurons, en commençant par Q, en lui mettant la couleur numéro 1. Pour Q1, on lui met la couleur numéro2. Pour Q2, on peut également lui mettre la couleur numéro2. Pour 0, on ne peut lui mettre ni la numéro1, ni la numéro2, il faut lui mettre la numéro3. Quand on arrive à P1, on ne peut lui mettre ni la 1, ni la deux, on peut lui mettre la trois. Pour P2, la seule couleur disponible est la 4. Et quand on arrive à P, on est bloqué.
Donc le projet du peintre est impossible.

bonjour! Une bande de couleur ne doit pas dépasser 7 m .Il ne peut utiliser deux fois la même couleur ( sinon les 2 points d'une même couleur seront écartés à plus de 7 m.)
7 fois 4 = 28. En tout, les couleurs seront disposées  sur 28m. Or d'après la relation de Pythagore le troisième coté ne peut mesurer 4m.( 12+12=24 et 28-24=4; comme c'est un triangle rectangle on a 12²+12²=288, le troisième coté mesure environ 17m) Il lui restera 13 m qui ne seront pas peints.

Bonjour,

Voici un exemple de tentative de coloriage en n'utilisant que 4 couleurs.



Sur le côté BC qui mesure entre 14 et 21 m, on ne peut pas utiliser moins de 3 couleurs.

Partant de B vers A, on peut reprendre la couleur de BF sur une distance de 7 m.
Quelque soit la position de F sur BC avec BF   7 m, on est assuré que EF mesure moins de 7 m (angle EBF < 60°).

De la même façon, On peut placer D sur CA, à 7 m max de C, avec le segment CD de la même couleur que GC.

Quoi qu'on fasse, la distance DE vaut au minimum 50 7,07 m.
On est donc obligé d'utiliser deux couleurs pour les segments DA et AE.

Parmi ces deux couleurs, on pourrait envisager de reprendre celle du segment FG.
Problème: on aurait alors 2 points de même couleur à une distance d'au moins 12-7(2)/2 7,05 m.
On doit donc utiliser une cinquième couleur.

Conclusion: le coloriage de la pièce nécessite au minimum 5 couleurs pour que 2 points d'un même plan horizontal distants de plus de 7 m ne soient pas de la même couleur.

_{voili, voilou...}

Donc Périmètre =
24+ 12
ce cercle de périmètre 24+12
et M quelconque il faut que M1 soit sur le cercle kq arc M0M1=7
puis on construit M2 etc...
M0: Point de départ du peintre
M1: doit être d'une couleur différente M0
M2: doit être d'une couleur différente que M1
M3: doit être d'une couleur différente que M2
M4:....................................... M3
M5:........................................M4
M6:........................................M5
M7:........................................M6
Donc l'artiste ne pourra pas mener son projet à termes
Merci pour l'énigme
Moumbo

comment veux-tu qu'il fasse cette exentricité?

Bonjour,

J'ai bien relu l'énoncé et je ne vois pas où je me trompe ...  

En faisant un dessin à l'échelle, je trouve qu'il n'y a rien d'impossible dans le projet de l'artiste.
(tant qu'on n'impose pas une largeur maxi pour les bandes)

Je joins mon dessin en attendant la correction ...  
_{( 2 côtés de 12m et des cercles de 7m de rayon : 2 points de même couleur ne sont jamais à plus de 7 mètres l'un de l'autre )}

Bizarrement moi j'aurais dit que c'etait jouable, j'ai hate de voir la réponse...
mais je continue de réfléchir au cas ou...........

Salut,

Par Pythagore, le 3eme mur mesure 12x(2) 17m, soit un périmetre d'environ 41m
2 points distants de plus de 7 metres sont de couleurs différentes.
Soit un point de couleur A. On fixe un sens de rotation positif.
7m plus loin (dans le sens positif), la couleur ne peut pas etre A, appelons-la B.
A 14m du point de départ (dans le sens positif), la couleur ne peut etre ni A ni B, appelons-la C.
A 21m du point de départ (dans le sens positif), on est a 14m de B, a 7m de C et a environ 20m de A (dans le sens négatif). On n'est ni de couleur 1, ni B, ni C. Appelons la couleur D.
A 28m du point de départ (dans le sens positif), on est a 7m de D, à 14m de C, a environ 20m de B(dans le sens négatif) et a environ 13m de A (dans le sens négatif). On n'a plus de choix possible de couleur...

L'objectif de l'artiste est impossible...

Les bandes de couleur étant verticales, et les contraintes de distances étant  horizontales on peut se ramener à l'étude d'un triangle isocèle rectangle de 12 m de côté.

Plaçons ce rectangle dans un repère

Les 3 sommets R, V et B étant distants de plus de 7 m seront de couleurs distinctes (respectivement Rouge, Vert et Bleu). Une zone d'une quatrième couleur (au milieu de l'hypothénuse) sera nécessaire

Choisissons un point N1 de coordonnées (4.96,7.04) juste à plus de 7 m de  V  et N2 de coordonnées (7.04,4.96) juste à plus de 7 m de B.  Ces points sont à plus de 7 m de R, V et B et seront donc Noirs.

Choisissons un point R1 de coordonnées (0,4.99) juste à plus de 7 m de  V  et N2 de coordonnées (4.99,0) juste à plus de 7 m de B. Ces points sont à plus de 7 m de V,B.
Et  Distance(R1,N2)=7.04 et distance(R2,N1)=7.04. Ces deux points ne peuvent donc être noirs. Les points R1 et R2 devraient donc être rouges

MAIS…. Distance(R1,R2)=7.05 supérieur à 7, les deux points ne peuvent être de la même couleur.

DONC… l'artiste ne pourra mener son projet à terme

Il faut inscrire le plus grand carré possible dans le triangle (les 4 bandes de couleur différentes sont représentées par les sommets).Le triangle est isocele rectangle, le carré est donc "calé" dans l'angle droit...

                                              122
Soit a le coté du carré : a = ¯¯¯¯¯¯¯ = 6
                                               22

Donc les 4 bandes de même couleur seront espacée au maximum de 6 mètres, et donc l'artiste ne pourra mener son projet à terme.

matovitch

Salut !

Mars et ça repart...mais tout doucement quand même. Désolé pour le délai de correction, je vous promets que je ne tente pas de battre un record. Celle-ci devait être corrigé le 29 février pendant un trou de mon emploi du temps mais j'ai eu un contretemps...

Surtout qu'elle n'était pas facile à corriger celle-là

Bon tout d'abord les esplications des

>jamo : Au premier abord, ta démo m'a semblé convaincante et correcte jusqu'à ce que j'arrive à la dernière ligne...

citation :
- et voilà où ça coince : l'autre bout de mur qui fait l'angle droit (celui qui repart à l'horizontal) ne peut être d'aucune des 4 couleurs, car à moins de 7 mètres du rouge, du vert, du bleu et du jaune

...pour enfin comprendre que tu avais lu l'énoncé à l'envers. Je me disais aussi que ta figure ne ressemblait pas à celle des autres... Vraiment désolé pour toi

>krikilou :

citation :
Une bande de couleur ne doit pas dépasser 7 m.

Cette affirmation est bien entendu fausse. Regarde les figures des autres et tu verras qu'une bande dans un coin (sur 2 murs) peut atteindre 14 mètres de largeur

>moumbo : Ton raisonnement est incorrect. Par exemple tes points M0, M1 et M2 peuvent être de la même couleur. Attention aux généralisations abusives !

>Jugo : Dessin à l'échelle peut-être mais dessin tout de même !! Et qui dit dessin dit approximation des mesures. Tes deux segments mesurent 5 mètres et je veux bien te croire si tu me dis que la distance entre les 2 extrémités bleues ne dépassent pas 7 sur ton dessin. Malheureusement, Pythagore n'en démord pas : 50 > 7

>nanoo2b: Ta notion de distance est incorrecte.

>matovitch: Là je dois avouer que la brièveté de ta réponse n'aide pas (et il est possible que j'aie mal compris qque chose) mais le passage

citation :
Donc les 4 bandes de même couleur seront espacée au maximum de 6 mètres

me laisse à penser que tu as, comme jamo, compris le problème à l'envers...

Voilà, maintenant qquelques remarques concernant les bonnes réponses.

Malgré les approches un peu expérimentales de certains, la plupart des réponses sont basées sur le fait que 50 > 7, à peu de chose près il est vrai.

De ce point de vue, les démos de master_och (qui, comme Stendhal, a mélangé le rouge et le noir_{à moins qu'il ne soit fan de Jeanne Mas}), dhalte, rogerd (avec du bleu à la place du rouge), guillaume7, piepalm, legmath (brève mais claire), ben, gloubi et itmetic me semblent assez simples.

Celle de notre champion Nofutur, si je la comprends, ne me donne pas le même sentiment de simplicité mais ça vient sûrement de moi

Quant à celle de frénicle, j'ai deux remarques à faire.

Tout d'abord, la première ligne de la démo semble être donnée comme une évidence et c'est vrai que ce n'est pas trop dur à vérifier mais je l'ai fait quand même, notamment pour m'assurer que ces fameux trapèzes AEFD et BGDF étaient bien des losanges comme semblait l'indiquer la figure En effet ça marche avec un petit calcul de racines carrées.

D'autre part je précise que la démo que j'avais était aussi basé sur cette idée mais invoquait l'inscription dans le triangle du quadrilatère EGFD qui, lui, est bien un trapèze

Voilà, bravo pour les bonnes réponses et encore déolé pour le retard.

minkus

Salut à tous !
J'avais bien compris le problème mais je me suis mal exprimé (fatigue?), voila la phrase que je voulais dire :
Donc les bandes de même couleur seront espacée au maximum de 6 mètres...

Mais je pense que ce poisson est largement justifié, car ma démonstration(bidon)
consistait à inscrire si possible un carré de 7 m dans le triangle...à vous de vérifier...

Bonsoir Minkus

citation :
De ce point de vue, les démos de master_och (qui, comme Stendhal, a mélangé le rouge et le noirà moins qu'il ne soit fan de Jeanne Mas)

En fait Minkus, j'ai rien mélangé, la partie que j'ai colorié en rouge représente une partie du mur où aucune couleur n'est encore imposée, j'ai tt simplement laissé le noir en dernière étape pour démontrer que le problème est impossible .

D'autre part je t'avoue que j'ai commencé à croire à un certain moment que tu essayais de battre un record de délai de correction .

En fin un grand merci pour ce genre d'énigme que j'adore, et que j'éspère se répetera à l'avenir .