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Polynômes de Legendre
Bonsoir,
voici un nouvel exercice sur lequel je travaille.
Dans ,
on considère le système constituté des classes de fonctions polynômiales où
,
.
Vérifiez que les classes des sont orthogonales deux à deux pour le produit scalaire dont dérive la norme de Minkowski
sur ce
-ev.
Par quelle constante positive faut-il multiplier
pour que
Déjà a-t-on bien que avec R la relation d'équivalence
p.p. sur
.
Donc . On prend un représentant de cette classe, ie un élément de
que l'on note
re H_aldnoer
oui c'est bien ça. (tu as oublié un 2 au dessus du L rond)
Alors, tu en es où dans cet exo.
Kaiser
donc je prends un représentant et un représentant
.
on a ?
J'ai du mal à me fixer sur ce qu'est la classe de fonction ici.
oublie cet histoire de représentant : en général, on confond toujours une fonction et sa classe.
Kaiser
Le problème c'est que mon prof fait systématiquement la disctinction en cours (pour preuve, l'exercice proposé est un exercice qu'il a lui même rédigé!)
admettons que je pose , alors
.
que signifie que le système est constitué des classes de fonctions polynômiales ?
sinon, dans le produit scalaire, tu as oublié un détail : c'est l'intégrale de f(t) multiplié par le conjugué de g(t) (conjugaison complexe).
Kaiser
c'est toujours le même problème : dans L² (L droit), ce sont des classes de fonctions mais on effectue toujours des calculs avec de vraie fonctions. Tu vas me dire alors "pourquoi on se prend la tête comme ". eh ben, tout simplement pour que la norme définie dans ton premier message soit une norme.
En effet, si l'intégrale d'une fonction mesurable positive est nulle, alors tout ce que l'on peut dire c'est que cette fonction est nulle presque partout.
Si f est une fonction mesurable, alors la classe de f c'est l'ensemble des fonction qui sont égales à f presque partout.
Mais encore une fois, on fait des calculs avec de vraies fonctions, on calcule l'intégrale de vraies fonctions.
Kaiser
message de 21h36 : f et g sont de vraies fonctions ici.
Plus précisément, si tu remplaces f par une fonction f1 qui est égale presque partout et g par une fonction g1 qui est égale presque partout à g, alors le résultat de l'intégrale reste inchangée.
Kaiser
Donc si un élément est dans L² droit, c'est un élément d'une classe de fonction : c'est donc un représentant pour cette classe de fonction modulo une certaine relation d'équivalence ?
non, ça c'est L² rond que tu es en train de décrire.
Pour résumer :
L² rond : ce sont les fonctions de carré intégrable
L² droit : ce sont les classes de fonctions de carrés intégrable modulo la relation "être égal presque partout"
Kaiser
Euh,
si je prend un élément dans L² droit, c'est un (ie un représentant)
si je prend un élément dans L² rond, c'est un f
?
si je prend un élément dans L² droit, c'est un
oui
(ie un représentant)
euh ...non
un représentant, c'est avant tout une fonction.
par exemple, une fonction f (ie une vraie de vraie) est un représentant de la classe de fonction
si je prend un élément dans L² rond, c'est un f
oui, une fonction (ie une vraie de vraie)
Kaiser
toutafé ! (on fera quand même attention à la notation avec les barres : ne pas confondre avec la conjugaison complexe).
Kaiser
on calcule donc
dans l'intégrale, on ne prend plus les classes de fonctions mais les vraies fonctions polynômiales ?
D'abord, tu peux te passer de la conjugaison : tout est réel.
Ensuite, essaie de faire une IPP et regarde ce que ça te donne.
Kaiser
oui c'est correct.
Par la suite, pour simplifier, on va supposer que m < n.
Sinon, essaie de montrer que le crochet est nul.
Kaiser
car les deux fonctions s'annulent en 1 et -1.
Pourrais-tu être plus précis ? (c'est seulement l'une d'elle qui s'annule en 1 et -1)
Je continue une intégration par partie ?
oui
Kaiser
euh, oui, mais là, si je te demande ce que vaut sa dérivée (m-1)ème de , je ne pense pas que ça va être palpitant.
Alors, je te préviens : il va falloir faire des raisonnements avec les polynômes, les racines des polynômes et la notion d'ordre d'une racine.
Es-tu à l'aise avec ces notions ?
Kaiser
on a 2 racines que sont +1 et -1.
pour la multiplicité il ne faut donc pas expliciter les polynômes dérivées ?
oula, je me suis trompé, on efface tout et on recommence :
1) ce polynôme n'est pas de degré 2n : c'est la dérivée nième d'une polynôme de degré n donc son degré est égal à ...
2) en ce qui concerne : ses racines sont exactement -1 et 1. Question : quelle est la multiplicité de -1 et 1 dans ce polynôme ?
3) autre question : soit P un polynôme de degré m et a une racine de P de multiplicité k. Si q est un entier naturel compris entre 0 et k, quelle est la multilplicité de a dans la dérivée q-ième de P ?
4) utilise 3) pour déterminer la multiplicité de 1 et -1 dans le polynôme si q est compris entre 0 et n.
Kaiser
pour la multiplicité il ne faut donc pas expliciter les polynômes dérivées ?
surtout pas !
est-ce que 1 est de multiplicité 2n ?
non
Kaiser
1/ pardon c'est pas qui est de degré
mais
. En revanche,
est de degré au plus
.
2/ dans le polynôme , on a que -1 et 1 sont de multiplicité n.
3/ je réfléchis
1) ben non : à chaque fois que tu dérives, tu abaisses le degré de 1, donc lorsque tu dérives n fois, tu réduis le degré de n, donc le degré de vaut exactement n
2) oui
Kaiser
en fait, tu as une propriété du cours qui dit que a est une racine de multiplicité exactement q de P si et seulement si pour tout k inférieur à q-1 et
Kaiser
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