Forme bilinéaire symétrique non dégénérée

Posté par jamo jamo

Bonjour,

dans l'ouvrage "Algèbre et géométrie MP", de J-M Monier, 5ème édition, à la page 114, on trouve la définition suivante :

"Soit une forme bilinéaire symétrique. On dit que est non dégénérée si et seulement si Ker() 0"

Et dans d'autres sources, je trouve le contraire, c'est-à-dire qu'une fbs f est non dégénérée si Ker(f)=0 !

Il y a une erreur quelque part, non ?

Si quelqu'un peut donner la bonne définition avec un petit exemple ...

Posté par critou critou

Bonjour jamo,

Certainement une erreur de frappe.
L'an dernier j'ai bien appris pour ma part que dégénérée=noyau non réduit à 0

Dans "Algèbre MP" de J-M Monier 4ème édition, page 151 :


Pour l'exemple euh faudrait que je fouille dans mes cours de l'an dernier... mais j'ai un peu la flemme

Critou

Posté par jamo jamo

Merci pour la confirmation, je pense en effet que c'est une erreur de frappe (sans doute un copier-coller de la version 5 dans laquelle ils ont fait une petite erreur en voulant supprimer le contenu des parenthèses)

Posté par Rodrigo Rodrigo

Bonjour,
Je confirme une forme bilinéaire symétrique est dite non dégénére ssi son noyau est nul. Une autre manière de le dire est de dire que l'application linéaire f(x,.) est non nulle pour x non nul.

Des exemples en voila quelques uns (je donne les formes quadratiques tu retrouveras les formes polaires associés)

Non dégénéree définie positivie f(x1,x2)=x1²+x2²

Non dégénérée f(x1,x2)=x1²-x2² (tres utile en phyisque, en relativité restreinte)

Dégénérée f(x1,x2,x3)=x1²+x2²

En fait les formes dégénérées sont peu interessante en pratique...

Posté par jeanseb jeanseb

Les formes quadratiques dans un espace de dimension n peuvent être classifiées par leur signature, qui donne aussi leur rang:

1 - p = nombre de formes positives

2 - q = nombre de formes négatives

La somme des deux p+q est le rang de la forme quadratique: si ce rang est égal à n, alors la forme quadratique est non dégénérée.

Pour les exemples de rodrigo:

ex1 : signature (2;0), rang 2 en dimension 2, donc non dégénérée


ex2 : signature (1;1), rang 2 en dimension 2, donc non dégénérée


ex3 : signature (2;0), rang 2 en dimension 3, donc  dégénérée

Posté par these these

Salut a tous
y'a t-il une demonstrartion du resultat:
si ce rang est égal à n, alors la forme quadratique est non dégénérée.