Equation différentielle (question du cours)

Posté par dellys (invité)

Bonjour,


Je prépare mon cours sur les fonctions primitives et les équations différentielles et j'aimerais bien que quelqu'un me fasse la démonstration de ce théorème (on nous dit d'accepter sans démonstration) :

Les équations différentielles de la forme
si est réel non nul alors les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions telles que    ( et deux constantes)

Merci!
w@lid.

Posté par gui_tou gui_tou

Salut Walid



Il faut d'abord poser l'équation caractéristique de cette équa diff :

On a donc l'équation car est :

Les solutions de (e) sont :

et là : 2 racines complexes conjuguées ---> cas numéro 3 d'Ayoub

Je le cite :



Bon courage ^^

Posté par Rodrigo Rodrigo

Ca dépend de ce que tu connais...Tu connais la dimension de l'espace des solutions? Si oui alors tu vérifie que ta solution général définit bien un plan et c'est fini...

Cela dit la partie non triviale consisite justement à prouver que l'espace des soltuoins est de dimension  2...le théorème de Cauchy-Lipshitz assure ce fait...mais ici on peut le démontrer simplement à la main...

Posté par gui_tou gui_tou

Bonjour rodrigo

<sub>Il est en terminale ...

PS:Walid, je ne préjuge pas de ton niveau hein</sub>

Posté par dellys (invité)

Bonjour Guillaume

Merci pour le lien, mais je ne peux pas suivre la démonstration d'Ayoub : je n'ai pas encore vu les fonctions exp


w@lid.

Posté par gui_tou gui_tou

Aïe, ça sera dur alors

Posté par Rodrigo Rodrigo

OUps...c'est vrai...on peut toutefois prouvcer à la main que l'espace est de dimension 2...c'est à dire que toutes les olutions sont combinaison linéaires de deux solutions...Si ca t'interesse je peux donner une démo...

Posté par dellys (invité)

Bonjour Rodrigo

Je n'ai même pas vu les fonctions exp.. que dire de la dimension de l'espace des solutions

bref, je crois que je vais attendre un peu (pas longtemps, on commence les exp cette semaine)


w@lid.

Posté par Rodrigo Rodrigo

OK!

Posté par gui_tou gui_tou



Ayoub l'a donnée dans le lien ^^

Posté par dellys (invité)

Merci quand même Rodrigo et Guillaume ! Bonne journée à vous deux.

w@lid.

Posté par Rodrigo Rodrigo

Ben justement il a admis...le fait que l'espace des solutions est de dimension 2!!

Posté par gui_tou gui_tou

Autant pour moi, c'est Monrow qui l'a démontrée, cette propriété ^^

Posté par Rodrigo Rodrigo

Non il a pas démontré non plus...Il a juste ennoncé le resultat...

Posté par gui_tou gui_tou

Ah .. au temps pour moi alors..

Posté par Rodrigo Rodrigo

Cela dit c'est pas trivial comme résultat mais bon pour les equations linéaires à coeff constants on doit pouvoir bricoler qqch...

Posté par dellys (invité)

Re!

y"=-a²y

0 est solution

et si a²=1 donc on aura y"=-y  
je crois que seule la fonction cos (ou sin) confirme !

dans son post, Monrow, a directement dit qu'on peut facilement montrer qu'une combinaison entre les deux est possible !

facilement veut dire sans exp ?

w@lid.

Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

Salut tout le monde,

Merci gui_tou, c'est sympa de me faire de la pub.

Rodrigo >> Moi, ça m'intéresse. J'ai essayé mais j'ai jamais réussi. Si t'as un temps, j'aimerais bien que tu me le files stp.

Posté par gui_tou gui_tou

De rien de rien

Posté par infophile infophile

Bonjour

Je crois qu'on l'a montré en cours ça, si on note S(I) l'ensemble des solutions de (E) sur I alors c'est un K espace vectoriel de dimension 2.

Pour montrer que c'est un ev on montre que c'est un sev et pour la dimension on choisissait l'application phi : S(I) --> K² qui à y associé (y(to),y'(to)) qui est de mémoire bijective et on avait un isomorphisme d'ev, et comme dim(K²)=2 alors on a bien S(I) de dimension 2 aussi.

A confirmer, ça remonte au début d'année les équa diffs

Posté par infophile infophile

guitou > Dans ton topic le terme de droite de ta deuxième égalité ne serait pas (-1)^p ?

Posté par gui_tou gui_tou

Tout seul ? non .. attention aux bornes

Posté par infophile infophile

Si on décompose le premier produit de 1 à p puis de p+1 à 2p on peut ensuite simplifier des deux côtés par le produit de 1 à p non ?

Posté par gui_tou gui_tou

(Je vois pas d'erreurs )

Posté par infophile infophile



T'as essayé une récurrence ?

Je vais me remettre sur mon dm si j'veux voir mes potes tout à l'heure

Bon aprem !

Posté par gui_tou gui_tou

Bon aprèm !

Posté par dellys (invité)

Vous voulez bien revenir un peu en arrière pour répondre à un débutant qui vient de connaitre les équations différentielles depuis une demie heure ? ça change quoi à la solution si on prend y"=a²y ?

Merci

w@lid.

Posté par gui_tou gui_tou

Ca change tout, car on aura alors 2 racines réelles ... confère cas 1) de Ayoub

Posté par dellys (invité)

Parce que les solutions de type  y=c_1.cos(ax)+c_2.sin(ax) ne sont pas réelles ?

w@lid.

Posté par gui_tou gui_tou

Si mais pour l'équation caractéristique

Posté par dellys (invité)

[question HS] : Un logiciel qui donne les fonctions primitives existe ?

Posté par gui_tou gui_tou

est pas mal

Posté par dellys (invité)

Ah oui ! thank you Guillaume !   
Mais je n'arrive pas à entrer une racine, quelle symbole stp?

w@lid

Posté par gui_tou gui_tou

Comme sur l' ou presque ^^ sqrt(..)

Posté par dellys (invité)

ça marche ! (j'avais essayé \sqrt{..})
Merci

w@lid

Posté par gui_tou gui_tou

de rien

Posté par Epicurien Epicurien

wow des équa. diff. d'ordre 2 en terminale , nous on en a vu une d'ordre 3 (j'ai bien dit une hein ) et on été super guidé (en t.d) sinon wow chapeau le niveau Terminale de ton lycée..

C'est un peu bizarre quand même de voir les équa. diff. sans avoir vu l'exponentielle



Kuider.

Posté par dellys (invité)



rassure moi tu parles de Guillaume ? lol



On commence par la définition de la primitive puis les équations différentielles puis les exp ! c'est comme ça ^^

Lol le plus marrant c'est en physique, on utilise que ça ! en radioactivité c'est les exp en élec les équations diff et les exp et même en chimie !


w@lid.

Posté par gui_tou gui_tou

Attends, y en aura en SVT, pour les datations absolues

Posté par dellys (invité)

La datation ? comme en radioactivité ? lol je maîtrise très bien la radioactivité

w@lid

Posté par Epicurien Epicurien

lol je confirme Guillaume j'en voulais moi en II.A , c'est de la datation relative qui est sortie grr ^^

Mais sinon, c'est que les équa. diff du type y'=ay+b  qui sont aux programmes nan?



Kuider.

Posté par dellys (invité)



Et du deuxième


w@lid

Posté par Epicurien Epicurien

Ah nous en élec on en a vu avec le R,L,C mais aprés pas explicitement en cours..quelques unes en exos 'seulement'



Kuider.

Posté par dellys (invité)

Nous c'est inscrt au programme ! mais bon, je pense que ce n'est pas très dur (enfin, je l'espère)


w@lid.

Posté par dellys (invité)

Kuid, sais-tu pourquoi xunil est banni ?


w@lid

Posté par Epicurien Epicurien

pour  multiple et vulgaire

Kuider.

Posté par infophile infophile

Ah bon ? Vous êtes sûr que c'est le bon xunil ? Car hier j'ai vu du multipost de xunil29 il me semble, il y a peut-être erreur non ?

Posté par gui_tou gui_tou

Salut Kévin

Il paraît que non !

Posté par infophile infophile

Salut guitou

Ca m'étonne de sa part...

Posté par gui_tou gui_tou

Moi aussi, mais bon de source sûre...