demonstration de la droite d euler

Posté par sandra2000 (invité)

C la demonstration du théorème de la droite d'Euler.

Soit ABC un triangle , dont le cercle circonscrit C a pour centre O.
Les trois hauteurs (AP),(BQ),et (CR) se coupent en H, orthocentre du triangle.
Le centre de gravite G du triangle est situé aux 2/3 de la médiane AA'.
D est le point diametralement opossé à A sur le cercle circonscrit C.

1). Demontrer que BHCD est un parallélogramme.
2). En déduire le centre de gravite du triangle AHD.
3). Montrer alors l'alignement des points O, H, et G.

Merki bocoupa ceu ki trouvron la reponse

Posté par muriel muriel

bonsoir ,
1)
utilise le fait que ACD et ABD sont des triangles rectangles pour montrer que (BH) et (CD), ainsi que (BD) et (CH) sont parrallèles.

2)
vu que BHCD est un parallèlogramme, les diagonales se coupent en ...
donc A' est ... de [HD]
donc comme le centre de gravité G' se trouve au 2/3 du sommet sur le segment qui joint ce sommet au milieu du côté opposé, c'est à dire que AG'=2/3 AA'
alors G'=G
donc le centre de gravité de AHD est ...

3)
O est le milieu de [AD], donc le centre de gravité de ADH, le sommet H et le milieu O de [AD] sont aligniés

voilà

Posté par MissMyrtille (invité)

bonjour
j'ai également ce problème à résoudre pour lundi, et je n'y arrivais pas du tout donc merci à Muriel, j'ai profité de sa correction.
cependant, ma prof ne s'est pas arrêtée là: on doit aussi répondre à la partie "pour aller plus loin"...
et je n'y arrive pas beaucoup plus.....
je repasserai demain voir si quelqu'un a trouvé la réponse. en attendant je retourne chercher
voici l'énoncé:
(première partie de l'énoncé dans le message de sandra)
Soit Z le milieu de [OH] et U le milieu de [AH]
démontrer que A'OUH est un parallélogramme de centre Z.
En déduire que le cercle de centre Z et de rayon [ZA'] passe par U et P.
ce srea tout!

Posté par elieval elieval

sur mon dessin , H l'orthocentre se trouve à l'extérieur du triangle ABC. Je ne pense pas que ça pose pb!?
Par contre, mon triangle AHD est"écrasé"(la dte HG passe très près de A.
st c que quelqu'un qui pourrait faire leee shéma aveec 1 logiciel pourrait le mettre en ligne SVP?
ça m'aideeraitt pour les dernières questions où je bloque. Merci beaucoup.

Posté par gaa gaa

bonsoir
suite pour missmyrtille
(UH) est en fait la hauteur de ABC
(OA') est la médiatrice de [BC]
donc ces 2 droites sont // puisque toutes 2 perpendiculaires à (BC)
Par ailleurs O milieu de [AD] et
U milieu de [AH]
donc (UO) est la droite des milieux dans le triangle AHD et est // à (HD)
donc UOA'H est donc un //logramme (les côtés opposés sont //)
et le milieu Z de [HO] est bien l'intersection des diagonales.
[ZA']=[ZU]
je suppose que tu appelles P le pied de  la hauteur issue de A
le triangle UPA' est reectangle en P et Z est le milieu de [UA']
Par conséquent Z est bien le centre d'un cercle circonscit à ce triangle rectangle et on a bien
[ZA']=[ZU]=[ZP]
ce cercle est appelé cercle des 9 points (ou cercle d'Euler)
Il passe par les milieux des côtés, par le pied des hauteurs et par le milieu des segments définis par un sommet et l'orthocentre.
Bon travail

Posté par lauren (invité)

exuse moi quel propriété as tu ituliséé pour dméontrer que bchd est un parallélogramme
j'ai compris tes explications mais je n'arrive pas à trouver la propriété ce serait genti que tu pouvais m'expliquer merci!!

désolé pour l'orthographe

Posté par mamisstic (invité)

Bonjour, déja, merci beaucoup pour le début de la démonstration, mais je n'arrive pas à finir l'exercice...
Montrer de même que le cercle (C') passe aussi:
   - par les milieux des trois côtés du triangle ABC
   - par les pieds des trois hauteurs
   - par les milieux des segments joignant les sommets à l'orthocentre.
(ce cercle est appellé cercle des neufs points, ou cercle d'Euler du triangle ABC.

Merci beaucoup !!!!

Posté par Disheurpro Disheurpro

Je tien à dire que la réponse de Muriel à Sandra 2000 possède plein de ".." et que c'est juste indéchiffrable(j'ai réussi après une heure) mais je voulais juste savoir,(oui moi aussi j'ai de DM ^^)es-tu sûre que ta démonstration est suffisante?Saura-t-elle plaire à un porf de maths?

Merci(et déoslé si mon post est u peu, on va dire insolent

Posté par Disheurpro Disheurpro

(j'ai juste oublié de préciser...) Ta dernière réponse me laisse un peu perplexe ....j'ai regardé sur ma fiche, et franchement, le fait que O soit le milieu de [AD] ne justifie pas l'alignement....

Posté par Orange07 Orange07

J'ai le même DM de math à faire (posté en haut de la page)
mais je n'arrive pas à comprendre les explications données pour repondre aux questions

Posté par gaa gaa

bonjour,
un triangle dont le centre du cercle circonscrit est au milieu de l'un des côtés du triangle est un triangle rectangle, ce côté étant l'hypoténuse de ce triangle.
C'est pour cela que l'on a DC perpendiculaire à AC et BD perpendiculaire à AB
comme les deux hauteurs issues de B et C sont également perpendiculaisres à AC et AB, le quadrilatère BHCD a ses côtés opposés parallèles. c'est donc un parallélogramme. Par conséquent, comme les diagoonales d'un parallélogramme se coupent en leurs milieux, A', milieu de BC, sera également le milieu de HD
si tu regardes le triangle AHD, AA' est donc une mmédiane de ce triangle.
Or G qui est au 2/3 de AA' sera donc également le centre de gravité du triangle AHD.
Comme O est le milieu de AD, HO est donc une médiane de ce même triangle et passera donc par le centre de gravité du triangle AHD,
donc HO passe par G et les trois points O,G,H sont donc alignés

Posté par Orange07 Orange07

J'ai réussi à faire mon exercice !

Merçi      

Posté par Azzag45 Azzag45

J'ai le même DM mais il faut que je démontre que AG=2/3 de AA'

Problème Droite et cercle d'Euler d'un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Soit ABC un triangle non isocèle. A', B' et C' sont les milieux respectifs des segments [BC], [AC] et [AB].
1. Sur la gure ci-jointe (à rendre avec la copie), construire le cercle C circonscrit au triangle ABC (on appellera
O son centre). Construire ensuite son orthocentre H et son centre de gravité G.
Le but de la première partie de ce problème est de démontrer que les points O, G et H sont alignés.
La gure devra être complétée au fur et à mesure des questions.
2. Soit D le point diamétralement opposé à A sur le cercle C.
(a) De quelle nature sont les triangles ACD et ABD? Justier.
(b) Démontrer que les droites (BH) et (CD) sont parallèles, tout comme (CH) et (BD). Quelle est la nature
du quadrilatère BHCD?
(c) En déduire que A' est le milieu de [HD].
3. (a) Que représentent les droites (HO) et (AA') pour le triangle AHD?
(b) En déduire que les points O, H et G sont alignés.
Indication : on utilisera le fait (à justfier) que AG =2/3 AA'.

La droite (OH) est appelée droite d'Euler du triangle ABC, du nom du mathématicien suisse Leonhard
Euler (1707 - 1783).

4. Soit L le milieu de [AH], M celui de [BH], N celui de [CH] et enn E celui de [OH].
(a) Démontrer que OLHA' est un parallélogramme. En déduire que E est le milieu de [LA'].
(b) Comparer les longueurs LA' et AD.
(c) Tracer le cercle C1, de centre E et de rayon EA'. Constater qu'il passe par les points B', C', L, M, N,
ainsi que par les pieds I, J, K des trois hauteurs du triangle ABC. On ne demande pas de démontrer ce
résultat.
(d) Comparer les rayons des cercles C et C1.
Ce cercle est appelé cercle d'Euler ou cercle des 9 points du triangle ABC.
Anné

Posté par Azzag45 Azzag45

Je bloque sur la 3b : les précédentes j'y suis arrivé. Les suivantes je n'ai pas essayé mais fait dans l'ordre (sinon pts en - )

Posté par Azzag45 Azzag45

Merci d'avance !

Posté par gaa gaa

A mon humble avis, tu n'as pas à démontrer que le centre de gravité est au 2/3 de la longueur de la médiane. Tu dois juste rappeler la propriété.
Mais si tu veux à tout prix le démontrer, tu prends un triangle ABC, A', B',C' les milieux de BC, AC,AB
par C'et A', tu mènes les paralèles à (BB')
celle qui passe par C' coupe (AC) en I  et (AA') en K
celle qui passe par A' coupe (AC) en J

et en prenant les triangles adéquates, tu démontres que KG=GH et que AK=KG.


A partir de là on montre (ce que j'ai expliqué en son temps) que, AA' étant à la fois médiane des triangles ABC et AHD, ces 2 triangles auront forcément même centre de gravité et comme O est milieu de AD, HO passe par le centre de gravité du triangle AHD et par conséquent les points O,H,G sont alignés.

Posté par Azzag45 Azzag45

Merci beaucoup mais comment puis-je démontrer que : que KG=GH et que AK=KG. De plus, sur ma figure, KG=3,5 ; GH=2,5. Donc ils ne sont pas égaux. Et, AK=3,5 ; KG=3,5. Donc KG=AK ; et KG=AK=GA'.

Re Merci d'avance !

Posté par gaa gaa

tu dois connaitre le théorême de la droite des milieux
la réciproque dit
si, dans un triangle, on mène par le miieu de l'un des côtés, un parallèle à un second côtés, alors elle coupe le 3ème côté en son milieu.
dans ABG, on peut donc dire que K est le milieu de AG
dans A'KC' que G est le milieu de [KA']  (car (BB') passe par lemieu de (C'A') parallèle à (AC))

Posté par Azzag45 Azzag45

Merci mais sa je l'ai aussi trouvé par rapport à ce que tu m'as dis mais je disais que c'était la médiatrice bref j'arrivais cette même conclusion. Mais ça prouve juste que AK=GK, et non que AK=A'G ni GK=A'G ni que AK=GK=A'G donc ni que AG=2/3AA'
Merci d'avance


P.S. : Désolé de ne pas avoir répondu plus tôt j'avais des problèmes avec ma connection internet

Posté par Azzag45 Azzag45

Ouah j'avais mal lu ta dernière phrase merci beaucoup !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!;)8-):):D

COOOOOOL !!! J'ai enfin réussi cette question grâce à toi !
Franchement merci !