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Polynômes - Irréductibilité, nombres algébriques ...

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
30-01-08 à 14:57

Salut,

je veux traiter un grand problème de polynômes avec votre assistance pour assimiler au max ce chapitre vraiment foncdamental et intéressant ...

On commence la partie n° 1

Citation :


      IRREDUCTIBILITE DANS 3$\mathbb{Q}[X]

1) a- Enoncer et sans démontrer une condition nécessaire et suffisante sur les dérivées pour que a soit racine d'ordre m d'un polynôme.

b- Soit 3$P\in\mathbb{Q}[X] irréductible sur 3$\mathbb{Q}[X]. a une racine complexe de P. Montrer que a est une racine simple.

2) Lemme de Gauss

a- i) Montrer que: g: 3$\mathbb{Z}[X]\to\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[X]\\ \Bigsum_{j=0}^\infty a_jX^j\to \Bigsum_{j=0}^\infty \overline{a_j}X^j est un morphisme d'anneau. Est-il injectif? surjectif?

ii) Soit A, B de 3$\mathbb{Z}[X] et p premier. En déduire que si p divise tous les coefficients de AB alors P divise tous les coefficients de A ou bien P divise tous les coefficients de B.

b- On note D(A) le PGCD des coefficients du polynôme A. Montrer que D(AB)=D(A)D(B). (On pourra écrire A=D(A)E et B=D(B)F avec D(E)=D(F)=1 et raisonner par l'absurde)

c- En déduire si 3$A\in\mathbb{Q}[X] est irréductible dans 3$\mathbb{Z}[X] il l'est dans 3$\mathbb{Q}[X].



Bon je réponds à ce que j'ai su: 1)a- la dérivée m-ième de P doit s'annuler en a ...

Merci beaucoup

Quelqu'un de blindé en polynômes?

Posté par
Camélia Correcteur
re : Polynômes - Irréductibilité, nombres algébriques ... 30-01-08 à 15:04

Bonjour monrow

Pour commencer...
1) a) a racine d'ordre m de P équivaut à P(m-1)(a)=0 et P(m)(a)0.

b) Indication: si a est racine complexe pas simple de P, pense au PGCD de P et de P'.

Posté par
romu
re : Polynômes - Irréductibilité, nombres algébriques ... 30-01-08 à 15:08

Salut,

Citation :
1) a- Enoncer et sans démontrer une condition nécessaire et suffisante sur les dérivées pour que a soit racine d'ordre m d'un polynôme.


Je crois qu'on attend plutôt la CNS:

(a racine d'ordre m de P) <=> (a est racine de P,P',P'',...,P^{(m-1)}, et non racine de P^{(m)})

Posté par
romu
re : Polynômes - Irréductibilité, nombres algébriques ... 30-01-08 à 15:09

Bonjour Camélia.

Posté par
Camélia Correcteur
re : Polynômes - Irréductibilité, nombres algébriques ... 30-01-08 à 15:12

Salut romu

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : Polynômes - Irréductibilité, nombres algébriques ... 30-01-08 à 15:13

Salut Camélia

J'ai vraiment de la chance de t'avoir trouvé connectée

Pour la 1 oui bien sur je voulais dire qu'elle ne doit pas s'annuler ...

Pour la 2 a n'est pas racine simple et donc elle est d'une multiplicité m>1.

On a (X-a)^m | P  et (X-a)^{m-1} | P'

est ce que je peux en déduire que (X-a)^{m-1} est leur PGCD?

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : Polynômes - Irréductibilité, nombres algébriques ... 30-01-08 à 15:13

Salut romu

Posté par
infophile
re : Polynômes - Irréductibilité, nombres algébriques ... 30-01-08 à 15:14

Bonjour à tous

Juste pour saluer mon pote mohamed

Posté par
Camélia Correcteur
re : Polynômes - Irréductibilité, nombres algébriques ... 30-01-08 à 15:14

Presque; le seul problème est que (X-a) n'est pas à coefficients dans Q!

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : Polynômes - Irréductibilité, nombres algébriques ... 30-01-08 à 15:15

Salut Kévin Ca fait des siècles que je ne t'ai pas vu

Posté par
infophile
re : Polynômes - Irréductibilité, nombres algébriques ... 30-01-08 à 15:17

Oui j'ai des problèmes de connexion je ne peux plus aller sur msn en espérant te revoir bientôt vieux bon courage pour la suite

A+

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : Polynômes - Irréductibilité, nombres algébriques ... 30-01-08 à 15:31

Ok kévin a+

Camélia>> en fait, on travaille dans Q[X] comment peut-on avoir une racine complexe?

Posté par
Camélia Correcteur
re : Polynômes - Irréductibilité, nombres algébriques ... 30-01-08 à 15:32

Par exemple comme X2+1

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : Polynômes - Irréductibilité, nombres algébriques ... 30-01-08 à 15:33

oui mais par x²+1 n'a pas de racines si on travaille dans Q[X] non?

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : Polynômes - Irréductibilité, nombres algébriques ... 30-01-08 à 15:59

up

Posté par
Camélia Correcteur
re : Polynômes - Irréductibilité, nombres algébriques ... 30-01-08 à 16:02

Il n'a pas de racine dans Q, mais il en a quand même dans C.

Alors voilà: Comme P est irréductible, il est premier avec P'. Bézout (écrit dans Q[X]): UP+VP'=1 et P et P' ne peuvent avoir aucune racine commune, même dans un sur-corps!

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : Polynômes - Irréductibilité, nombres algébriques ... 30-01-08 à 16:06

Citation :
même dans un sur-corps!


voilà ce qui me manquait ...

Je passe au lemme de gauss. Bon c'est facile de montrer que g(p+Q)=g(P)+g(Q) mais pour la loi x?

Posté par
Camélia Correcteur
re : Polynômes - Irréductibilité, nombres algébriques ... 30-01-08 à 16:20

Purement formel.

Posté par
Camélia Correcteur
re : Polynômes - Irréductibilité, nombres algébriques ... 30-01-08 à 16:33

Là je quitte l'ile. Pour 2)a)ii), pense que Z/pZ[X] est intègre puisque Z/pZ est un corps. Suite au prochain numéro...

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : Polynômes - Irréductibilité, nombres algébriques ... 02-02-08 à 15:09

Re ...

désolé Camélia du grand retard !

pour la 2)a)ii) est-ce que je peux la faire par contraposée? je suppose quee p ne divise ni les coefficients de A ni les coefficents de B.

Le coefficients de AB sont de la forme: c_k=\Bigsum_{I=0}^ka_jB_{n-k}.

Et c'est clair que p ne divisera pas les c_k est-ce illogique?

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : Polynômes - Irréductibilité, nombres algébriques ... 02-02-08 à 15:10

3$\rm c_k=\Bigsum_{I=0}^ka_jb_{k-j}

Posté par
Camélia Correcteur
re : Polynômes - Irréductibilité, nombres algébriques ... 02-02-08 à 15:30

Rebonjour,
Ca marche pas... 2 ne divise ni 1, ni 3, ni 5, mais divise 13+15.

Citation :
Pour 2)a)ii), pense que Z/pZ[X] est intègre puisque Z/pZ est un corps.

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : Polynômes - Irréductibilité, nombres algébriques ... 02-02-08 à 15:50

ah oui je  n'ai pas vraiment une bonne idée :s

Posté par
Camélia Correcteur
re : Polynômes - Irréductibilité, nombres algébriques ... 04-02-08 à 16:22

Alors? On abandonne?



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