équation fonctionnelle et dichotomie

Posté par solaris solaris

Bonjour, je suis un peu bloqué sur cet exercice avec une équation fonctionnelle, si quelqu'un a un petit peu de temps à m'accorder je lui en serai très reconnaissant.

Merci d'avance.


On note E l'ensemble des applications f:R-->R continues telles que :

(x,y)², f((x+y)/2)= [f(x)+f(y)]/2.

1.Montrer que E contient l'ensemble des applications affines. (ça c'est fait)

2. Soient a et b deux réel(a<b) et f une fonction appartenant à E telle que f(a)=f(b)=0.

a)i) Soit c[a,b].
Construire par dichotomie deux suites (an) et (bn) telles que a₀=a et b₀=b, et pour tout entier n,

c[a_n,b_n] et f(a_n)=f(b_n)=0

ii) En déduire que f(c)=0.



Et là je blopque pour la dichotomie.

Posté par erfff erfff

a)i)

f((a0+b0)/2)=0

Soit c[a,(a+b)/2] donc on pose a1=a0 et b1=(a+b)/2
Sinon on pose a1=(a+b)/2 et b1=b0

De cette facon, on est sûr que c est dans [a1,b1]

On recommence avec f((a1+b1)/2) qui vaut aussi 0
et même principe pour choisir a2 et b2

etc...

Bref, (an) et (bn) sont adjacentes et tendent vers c

ii) pour tout n, f(an)=0 donc comme f est continue alors f(lim(an))=0 donc f(c)=0

Posté par solaris solaris

Bonjour, merci de votre répnse qui m'a beaucoup aidé.

Je suis denouveau bloqué quelque par, si qqu pouvait m'aider.... Merci..


Montrer que pour tout n, on a f(a+nh)=0, où h=b-a.

En déduire que f est la fonction nulle sur R.


Je pense qu'il faut le faire par récurrence, mais en restreignant le domaine d'étude à N, et de toute façon je ne vois pas bien comment rédiger la récurrence.

Merci d'avance.

Posté par solaris solaris

Posté par erfff erfff

Par récurrence :

f(a+nh)=1/2*[f(2a)+f(2nh)]=0
f(a+nh)=f(a/2+(n-1)h/2 + a/2+(n+1)h/2)=1/2*(f(a+(n-1)h) + f(a+(n+1)h))

d'où f(a+(n+1)h)= 2*f(a+nh) - f(a+(n-1)h)

Donc en faisaint une récurrence double...


On a montré que si f(a)=f(b)=0 alors f(c) est nulle sur [a,b] donc f est nulle sur cet intervalle

Soit x un réel :

il existe n tel que a+n(b-a)<= x <a+(n+1)(b-a) et on sait maintenant que f(a+n(b-a))=f(a+(n+1)(b-a))=0

Donc en refaisant le même raisonnement qu pr la question précédente, on montre que f(x)=0...
Bilan : pour tout x réel, f(x)=0 donc f est nulle

Posté par erfff erfff

Correction : Tu peux ignorer la 1ere ligne de calcul, elle sert à rien

Posté par solaris solaris

merci beaucoup, mais je ne peux pas faire une récurrence sur Z, non ?

Posté par erfff erfff

Oui, il faudra en faire une pour les positifs et une pr les négatifs car les cas n=0 et n=1 st vrais de ttes façons...mais les 2 rédactions vont se ressembler, la seule différence est qu'on va isoler f(a+(n-1)h) en fonction de f(a+nh) et f(a+(n+1)h) dans le cas des négatifs