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endomorphisme / bases
Bonjour , je vous propose cet exercice d'algèbre très intéressant...
j'ai quelques idées mais je n'en conlus rien
merci de m'aider!
E un ev de dim n >= 2
u € L(E) :
-> on pose u^0= Id E et u^j=u^(j-1)o(u)
-> P est un polynome de R[X] tq P = Somme (de k=0 jusqu'à n) des a(k)X^k
P(u) = Somme (de k=0 jusqu'à n) des a(k)u^k puis P(u)oQ(u)= PQ(u).
u est dit cyclique sssi il existe un vecteur a de E tq la famille (a, u(a),...,u^(n-1)(a)) est une base de E.
PARTIE 1 :
C(u) = {v € L(E) tq v o u = u o v}
et B = (a, u(a),...,u^(n-1)(a)) est une base de E.
1. (a) montrer que C(u) est un sev de E stable pour la composition des endomorphisme.
(b) montrer que R[X] est inclus dans C(u)
2. Soit v un élément de C(u).
(a) Justifier l'existence de n réels µ0,µ1,...µn-1 tq :
v(a)= Somme de j=0 jusqu'à n-1 des µ(j)u^j(a).
(b)On considere l'endomorphisme w défini par w = Somme de j = o jusqu'à n-1 des µ(j)u^j(a)
En comparant les images des éléments de B par v et par w montrer que v = w.
(c) en déduire que C(u) = R[u]
3. Montrer que la famille (IdE , u,.......u^(n-1))est une famille libre de L(E)
4.déterminer une base et la dimension de C(u).
Partie 2 :
1 . u est un nilpotent d'indice n tq u^n=0 et u^n-1 different de 0
a) montrer qu'il existe x tq (x,u(x),...,u^(n-1)(x)) soit une famille libre de vecteurs de E.
b) en déduire que u est un endomorphisme cycllique.
2. (a)soit E = Rn-1[X]
(D(P))(x) = P'(x)
et (R(P))(x)= P(x+1)-P(x)
(a) en utilisan 1) monterer que D est cyclique
(b) montrer que R est un élément de C(D)
(c) en déduire qu'il existe un polynome Q tq R = Q(D)
j'ai répondu àux 2 premières questions
en effet c'est R[u] et non pas R[X].
2(a) On écrit simplement v(a) sur la base (a,u(a),...,un-1(a))
(b) A nouveau l'énoncé n'a pas de sens. Je pense qu'il s'agit de Par définition on a v(a)=w(a). Comme v et u commutent, on vérifie facilement que v(uj(a))=w(uj(a)) et si v et w coïncident sur une base, ils coïncident.
(c) maintenant c'est clair.
je cherchais donc beaucup trop compliqué!!!
bon je me penche maintenant sur la famille libre et la base...
soit(µ0,µ2...µ n-1)€ R^n tq :
µ0*Id E + µ1*u1+...+ µn-1* u^(n-1)=0 (1)
je divise (1) part u^(n-1)et je fais tendre n vers + l'infini pour isoler le µ n-1
=> µ n-1 = 0 =µ0=µ1=...
donc c'est une famille libre
Pour 3 ta démo ne parche pas. Tu ne peux pas diviser, puisque tu ne sais pas qui est nul.
Si , tu as en particulier
et tu sais que les uj(a) forment une base...
Pour 4: On a démontré que tout élément de C(u) est combinaison linéaire des uj et on vient de voir que ceux-ci forment une famille libre.
les u^j (a) forment une base de E
donc (a, u(a),...u^n-1(a)) est une famille libre de E
=> (IdE , u,.......u^(n-1))est une famille libre de L(E) ?????
je vois pas pourquoi
sinon pour le 4 on a :
les u^j partie génératrice de C(u)
les u^j famille libre de C(u) => les u^j base de C(u)
les u^j inclus dans c(u)
et dim C(u) = card (base) = n
les u^j (a) forment une base de E
donc (a, u(a),...u^n-1(a)) est une famille libre de E
=> (IdE , u,.......u^(n-1))est une famille libre de L(E) ?????
Pour la dimension de C(u) c'est OK
je souhaite juste revenir au 1)b et 2)c) dans lesquelles j'ai du mal
pour la 1 je n'arrive pas a montrer l'inclusion et pour la 2eme jvois pas le rapport avec ce qui précède car on a bien R[u] inclus dans C(u) et il nous mnque l'égalité de dimension
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