endomorphisme / bases

Posté par flovalverde (invité)

Bonjour , je vous propose cet exercice d'algèbre très intéressant...
j'ai quelques idées mais je n'en conlus rien
merci de m'aider!



E un ev de dim n >= 2
u  € L(E) :

-> on pose u^0= Id E et u^j=u^(j-1)o(u)

-> P est un polynome de R[X] tq P = Somme (de k=0 jusqu'à n) des a(k)X^k
  P(u) = Somme (de k=0 jusqu'à n) des a(k)u^k  puis P(u)oQ(u)= PQ(u).

u est dit cyclique sssi  il existe un vecteur a de E tq la famille (a, u(a),...,u^(n-1)(a)) est une base de E.

PARTIE 1 :

C(u) = {v € L(E) tq v o u = u o v}
et B =  (a, u(a),...,u^(n-1)(a)) est une base de E.

1. (a) montrer que C(u) est un sev de E stable pour la composition des endomorphisme.
    (b) montrer que R[X] est inclus dans C(u)

2. Soit v un élément de C(u).

(a) Justifier l'existence de n réels  µ0,µ1,...µn-1 tq :        
      v(a)= Somme de j=0 jusqu'à  n-1  des  µ(j)u^j(a).
(b)On considere l'endomorphisme w défini par w = Somme de j = o jusqu'à n-1 des µ(j)u^j(a)
En comparant les images des éléments de B par v et par w montrer que v = w.
(c) en déduire que C(u) = R[u]

3. Montrer que la famille (IdE , u,.......u^(n-1))est une famille libre de L(E)

4.déterminer une base et la dimension de C(u).

Partie 2 :

1 . u est un nilpotent d'indice n tq u^n=0 et u^n-1 different de 0
a) montrer qu'il existe x tq (x,u(x),...,u^(n-1)(x)) soit une famille libre de vecteurs de E.

b) en déduire que u est un endomorphisme cycllique.

2. (a)soit E = Rn-1[X]
(D(P))(x) = P'(x)
et (R(P))(x)= P(x+1)-P(x)
(a) en utilisan 1) monterer que D est cyclique
(b) montrer que R est un élément de C(D)
(c) en déduire qu'il existe un polynome Q tq R = Q(D)

Posté par Camélia Camélia

Bonjour

Eh bien, le début est faisable (l'énoncé de 1(b) est faux). Commence et on t'aidera...

Posté par flovalverde (invité)

j'ai répondu àux 2 premières questions
en effet c'est R[u] et non pas R[X].

Posté par flovalverde (invité)

je bloquea partie de 2a)

Posté par flovalverde (invité)

je vous demande donc de l'aide pour le 2)a)

Posté par Camélia Camélia

2(a) On écrit simplement v(a) sur la base (a,u(a),...,u^n-1(a))
(b) A nouveau l'énoncé n'a pas de sens. Je pense qu'il s'agit de Par définition on a v(a)=w(a). Comme v et u commutent, on vérifie facilement que v(u^j(a))=w(u^j(a)) et si v et w coïncident sur une base, ils coïncident.
(c) maintenant c'est clair.

Posté par flovalverde (invité)

je cherchais donc beaucup trop compliqué!!!
bon je me penche maintenant sur la famille libre et la base...

Posté par flovalverde (invité)

soit(µ0,µ2...µ n-1)€ R^n tq :
µ0*Id E + µ1*u1+...+ µn-1* u^(n-1)=0 (1)


je divise (1) part u^(n-1)et je fais tendre n vers + l'infini pour isoler le µ n-1
=> µ n-1 = 0 =µ0=µ1=...

donc c'est une famille libre

Posté par flovalverde (invité)

pour la base et la dim de C(u) je ne vois pas trop

Posté par flovalverde (invité)

quant à la partie 3) j'y suis totalement perdu!!!

Posté par Camélia Camélia

Pour 3 ta démo ne parche pas. Tu ne peux pas diviser, puisque tu ne sais pas qui est nul.
Si , tu as en particulier et tu sais que les u^j(a) forment une base...

Pour 4: On a démontré que tout élément de C(u) est combinaison linéaire des u^j et on vient de voir que ceux-ci forment une famille libre.

Posté par flovalverde (invité)

les u^j (a) forment une base de E
donc (a, u(a),...u^n-1(a)) est une famille libre de E
=> (IdE , u,.......u^(n-1))est une famille libre de L(E) ?????

je vois pas pourquoi

sinon pour le 4 on a  :
les u^j partie génératrice de C(u)  
les u^j famille libre de C(u)             => les u^j base de C(u)
les u^j inclus dans c(u)


et dim C(u) = card (base) = n

Posté par Camélia Camélia





Pour la dimension de C(u) c'est OK

Posté par flovalverde (invité)

je souhaite juste revenir au 1)b et 2)c) dans lesquelles j'ai du mal
pour la 1 je n'arrive pas a montrer l'inclusion et pour la 2eme jvois pas le rapport avec ce qui précède car on a bien R[u] inclus dans C(u) et il nous mnque l'égalité de dimension

Posté par flovalverde (invité)

pour la aprtie 3)2) j'aurais également besoin d'aide

Posté par Camélia Camélia

1)b) On vérifie à la main que u, u^k, puis tout polynôme en u commute avec u (c'est pratiquement évident)

2)c) On vient de montrer que si v commute avec u alors v est un polynôme en u.

C'est quoi 3)2)?