Séries entières

Forums

» » » »

Séries entières

Posté le 02-02-08 à 14:59

Posté par puisea

Bonjour, je bloque sur une partie d'un sujet sur les séries entières. Quelques idées seraient les bienvenues

Quelques définitions avant tout :

On note $\Large\mathcal{S}$ l'ensemble des suites de réels telles que la série entière associée ait un rayon de convergence supérieur ou égal à 1.
Pour $\Large A=(a_n)_{n\in\mathbb{N}}\in\mathcal{S}$ , on considère l'application $\Large f_A$ de $\Large [0,1[$ dans $\Large \mathbb{R}$ définie par :

$\Large f_A : x\mapsto f_A(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n$

Enfin, on dit qu'une série $\Large \sum a_n$ converge au sens d'Abel si :
- $\Large (a_n)\in\mathcal{S}$
- $\Large f_A$ admet une limite à gauche en 1. Celle limite s'appelle la somme d'Abel de la série

On note $\Large \mathcal{A}$ l'ensemble des éléments $\Large (a_n)$ de $\Large\mathcal{S}$ tels que la série numérique $\Large \sum a_n$ converge au sens d'Abel. Lorsque A est un élément de $\Large \mathcal{A}$ , on prolongera $\Large f_A$ en 1 en posant $\Large f_A(1)=\lim_{x\to 1-}f_A(x)$ .

Voila, maintenant, la partie qui me concerne :

Si $\Large A=(a_n)\in\mathcal{A}$ , on pose $\Large ||A||=\int_0^1|f_A(t)|dt$

- il s'agit d'une norme.

Je dois calculer $\Large ||A||$ pour la suite définie par $\Large a_n=\frac{(-1)^n}{(2n)!}$ , ce qui revient à calculer :

$\Large ||A||=\int_0^1\|\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^n\|dx$

Je ne vois pas trop comment m'y prendre... Je suppose que l'on peut faire apparaitre les DSE de cosinus et sinus, mais je bloque.

Ensuite on définit l'application $\Large \varphi$ de $\Large \mathcal{A}$ dans $\Large\mathbb{R}$ avec : $\Large \varphi:A\mapsto\varphi(A)=\lim_{x\to 1-}f_A(x)$ .

On me demande de montrer que $\Large\varphi$ est linéaire (pas de souci à priori), mais qu'elle n'est pas continue (là ça coince).

Voila

Merci d'avance de votre aide.

_{PS : malheureusement, je dois m'absenter dans l'immédiat, je refais surface dès que possible.}

re : Séries entières

Posté le 02-02-08 à 15:21

Posté par Camélia

Salut Pierre

Oui, c'est bien ça. Pour le calcul: je commencerais par dire que pour x>0 $\bigsum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^n=\cos(\sqrt x)$ ce qui justifie le fait que tu es dans $\cal A$ . On a

$\int_0^1\cos(\sqrt x)dx=2\int_0^1u\cos(u)du$
et ça se fait par parties.

Pour montrer que

n'est pas continue: Prends f_n(x)=(n+1)xⁿ. C'est bien un élément de $\cal A$ , et ||f_n||=1. Mais

(f_n)=n+1, donc

n'est pas bornée sur la boule unité.

(Je ne connais pas ton exo, donc si tu as besoin d'aide pour la suite, ça m'intéresse)

re : Séries entières

Posté le 02-02-08 à 17:15

Posté par puisea

Salut Camélia

Pour la norme, ok. Je n'avais pas pensé à la racine carrée.

Pour montrer que $\varphi$ n'est pas continue, je comprends le raisonnement. Une petite chose m'échappe pourtant.

Si j'ai bien compris, on prend comme suite $(a_n)$ définie par $a_n=n+1$ comme élément de $\mathcal{A}$ et pour le coup je ne vois pas pourquoi il y a appartenance.

En effet, on a :

$\Large\frac{1}{(1-x)^2}=\sum_{n=0}^{+\infty}(n+1)x^n$ sur [0;1[. Mais la fonction qui à x associe $\frac{1}{(1-x)^2}$ n'admet pas une limite finie en $1^-$ .

J'ai loupé quelque chose ?

PS : il s'agit d'une question d'un vieux sujet de l'université d'Orléans (Ecole supérieure de l'énergie et des matériaux). Si cela t'intéresse, je peux te l'envoyer par mail (auquel cas, il faudrait que tu me contactes pour me transmettre une adresse sur laquelle je peux te l'envoyer), ou le mettre à disposition sur mon site le temps que tu le récupères.

Pour ce qui est d'une aide pour la suite, j'ai bien avancé dans le reste du sujet, mais il est probable que je coince plus loin car à vue d'oeil cela à l'air de se corser

re : Séries entières

Posté le 03-02-08 à 14:39

Posté par Camélia

Re!

Citation :
Si j'ai bien compris, on prend comme suite définie par comme élément de et pour le coup je ne vois pas pourquoi il y a appartenance.

Non, pour n fixé, on prend la suite nulle partout, sauf a_n=(n+1). Alors f_n(x)=(n+1)xⁿ, qui a bien une limite en 1.
Après je calcule ||f_n|| et

(f_n) pour chaque n.

On verra pour la suite...

re : Séries entières

Posté le 03-02-08 à 17:40

Posté par puisea

Pigé, merci

Ok pour la suite.

Répondre à ce sujet

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Vous devez être connecté pour poster

Un modérateur est susceptible de supprimer toute contribution qui ne serait pas en relation avec le thème de discussion abordé, la ligne éditoriale du site, ou qui serait contraire à la loi.

Ce topic

Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, connectez vous !
Fiches de maths

analyse en post-bac
15 fiches de mathématiques sur "analyse" en post-bac disponibles.