espace vectoriel

Posté par Lipoupou Lipoupou

<sup>[/sup]Salut à tous j'ai un petit problème pour faire ces exercices:

Exercice 1:
Soit E un K espace vectoriel, soient p et q deux projecteurs de E. Démontrer que p+q est un projecteur si et seulemtn si poq=qop=0.

Réponse:
Bon c'est une relation d'équivalence j'ai procédé par double implication.
1) Si poq=qop=0, montrons que p+q est un projecteur(ca je l'ai fait il n'y a pas a revenir dessus).
2)Si p+q est un projecteur, montrons que poq=qop=0.(La j'ai un petit problème dans ma démonstration)
On a p+q un projecteur, alors p+q est linéaire et (p+q)o(p+q)=p+q, or (p+q)o(p+q)=pop+poq+qop+qoq=p+q+poq+qop.
(p et q sont des projecteurs). alors on en déduit que poq+qop=0poq=qop=0 ou poq=-qop (et c'est la que j'ai un problème, car il ya ses deux possibilité, peut-être que je me casse la tête pour rien, mais je ne sais pas).

Exercice 2:
Soit E un K espace vectoriel et soit fL_k(E)linéaire).
On pose f[sup]0</sup>=Id et n, fⁿ⁺¹=fofⁿ.
On note F=_n0(Ker(fⁿ)) et G=_n0(Im(fⁿ)).

1)Montrer que n,Ker(fⁿ)Ker(fⁿ⁺¹) et Im(f^{^n+1})Im(fⁿ).

Réponse:
-->(n)soit xKer(fⁿ)fⁿ(x)=0_E, d'où fofⁿ(x)=f(0_E)=0_E(caar f est linéaire), d'où xKer(fⁿ⁺¹) d'où ker(fⁿ)Ker(fⁿ⁺¹) (n)(au début j'avais essayer par récurence, mais je me suis rendue compte que je n'utilisais pas l'hypothèse de récurence)

-->(n)Soit x Im(fⁿ⁺¹)x'E, fⁿ⁺¹(x')=x, d'où x'E,fofⁿ(x')=x( mais la intervient le problème je n'arrive pas a continuer).

2)Montrer que F et G sont stables par f.

Réponse:[/u]

POur cette question pouvez vous m'écrire ce qu'il faut montrer.

3) (p,Ker(f^p)=Ker(f^p+1))np,Ker(fⁿ)=Ker(fⁿ⁺¹).
Et (p, Im(f^p)=Im(f^p+1))np, Im(fⁿ)=Im(fⁿ⁺¹).

[u]Réponse:

Non tenté encore.

POuvez vous m'aidez déjà pour les petites choses qu'il me manque s'il vous plaît, merci d'avance.

édit Océane

Posté par monrow monrow

Salut

1) t'es arrivé à poq+qop=0

on prend y de Im(q) on a q(y)=y (car q est un projecteur)

donc: poq(y)+qop(y)=0 => p(y)+qop(y)=0

On écrit p(y)=a+b avec a € Imq et b € Kerq

on a qop(y)=q(a+b)=q(a)+q(b)=q(a)=a

donc: p(y)+qop(y)=0 => 2a+b=0

Or implique a=b=0 d'où qop=0 et poq=0

Posté par Lipoupou Lipoupou

k, merci pour cette exercice, juste une question si bKer(q), on a: q(b)=0_E?

Posté par monrow monrow

évidemment

Posté par Lipoupou Lipoupou

k, merci beaucoup pour ca, si quelqu'un pouvez encore pour la suite, sa serait sympa, merci d'avance.

Posté par monrow monrow



On pose

Donc

Donc:

on a ainsi montré que la suite des images est décroissante, celle des noyaux est croissante (au sens de l'inclusion)

Posté par Lipoupou Lipoupou

k merci encore.

Posté par monrow monrow

je te laisse un peu le temps pour trouver que F et G sont stables.

soit x de F montre que f(x) est dans F aussi (de même pour G)

pas assez difficile

Posté par Lipoupou Lipoupou

Pour montrer que c'est stable, j'ai une question, qu'elle est la différence entre x(Ker(fⁿ) et x_n0(Ker(fⁿ)?

Posté par monrow monrow





en effet la stabilité c'est pour et à ce que je pense et non le contraire ...

Posté par monrow monrow

Désolé c'est:

Posté par Lipoupou Lipoupou

ben, je sais pas sur ma feuille, d'exercice c'est Ker(fⁿ) et Im(fⁿ). Car sinon ca marche pas avec ce qu'est dans l'énoncé?

Posté par monrow monrow

si si ça marche, c'est juste que j'avais un doute que tu travaillais sur un autre résultat sur les endomorphismes ...

Bon si

je te laisse l'autre

Posté par Lipoupou Lipoupou

de toutes facon pour la stabilité on a juste a composé par car on veut montrer que fⁿ(f(x))=0[sub]E/sub] et cela est vrai car f(0[sub]E/sub])=0[sub]E/sub] puis que f est linéaire, non?

Posté par Lipoupou Lipoupou

a k, merci, moi  j'ai fait n'importe quoi dans mon dernier message.

Posté par Lipoupou Lipoupou

Donc pour  la stabilité de G, on a:
x_n0(Im(fⁿ))n,x'E,fⁿ(x')=x.

On a xIm(fⁿ), alors xIm(f^n-1).

U'est-ce qu'on peut conclure avec, ca?

Posté par Lipoupou Lipoupou

et que: f^n-1(f(x'))=x

Posté par monrow monrow

si x appartient à Im(f^n) f(x) appartient à Im(f^{n+1}) qui appartient à l'union et tu peux conclure

Posté par Lipoupou Lipoupou

ok, merci beaucoup en faite, j'avais juste a composer par f, on a :n,x'E,fⁿ(x')=x

d'où :n,x'E, fofⁿ(x')=f(x)

d'où :n,x'E, fⁿ⁺¹(x')=f(x)

d'où f(x)Im(fⁿ⁺¹), d'où comme Im(fⁿ⁺¹)Im(fⁿ), on f(x)Im(fⁿ), c'est ca?

Posté par Lipoupou Lipoupou

Bon merci pour ta patience et pour m'avoir aidé, je te remercie beaucoup, je crois je vais arrêter de travailler pour ce soir, bonne soirée!!!

Posté par monrow monrow

Bonne soirée

Posté par Lipoupou Lipoupou

POur la dernière question de mon problème, il faut montrer l'implication, ou il faut montrer que ce p existe et l'implication?

Posté par monrow monrow

non juste l'implication

Posté par Lipoupou Lipoupou

ll faudrait faire ca par récurence sur p ou il ya quelque chose de plus rapide, car si on part de p,Ker(f^p)=Ker(f^p+1), par récurence il faudrait justement noté ce p=p₀ et montrer que (sacchant que a propriété est vraie jusqu'à p_n) p+1,Ker(f^p+1)=Ker(f^p+2)(p+1>p)

Est-ce que ca marcherait?

Posté par Lipoupou Lipoupou

Soit la proposition P_n: "np, on a: Ker(fⁿ)=Ker(fⁿ⁺¹)"
Initialisation:
On a: n=p, d'où p,Ker(f^p)=Ker(f^p+1), d'où on a bien:n=p,Ker(fⁿ)=Ker(fⁿ⁺¹).

D'où P₀ est vraie.

Hérédité:
Supposons que, pour un n arbitraire (net np),P_n est vraie et montrons que P_n+1 est vraie, c'est à dire: n+1,Ker(fⁿ⁺¹)=Ker(fⁿ⁺²).

Mais la je suis perdue.

Sinon sachant que dans le 1) on a démontrer que n, Ker(fⁿ)Ker(fⁿ⁺¹), il suffirait de montrer que np,Ker(fⁿ⁺¹)Ker(fⁿ), et peut faire une récurence sur sa serait peut être plus simple, qu'en pensez vous?