suites

Posté par babouche babouche

Bonjour,

J'ai un petit problème pour cet exercice.

On considère la suite (Un) définie par: U0= 0,35 et U(n+1)= Un exp(-Un)


Montrez par récurence que, pour tout n, Un>0 et que la suite (Un) est décroissante.


Donc pour la première partie de la question, pas de problème. Par contre pour la deuxième partie, j'ai du mal parce que lorque j'ai fais le tableau de variation de la fonction, je trouve que sur [0;1], la fonction est croissante et que sur [1;+ , la fonction est décroissante.


Je vous écris le début de mon raisonnement pour que vous voyez où est le problème:

Soit la propriété Pk :"Uk+1 Uk est vraie.

Montrons que P0: U1<U0 est vraie:

U0= 0,35

U1=0,25

donc U1<U0

Supponsons que le propriété Pk: "Uk+1 Uk" est vraie pour un certaine k.

Montrons alors que Pk+1: "Uk+2 Uk+1" est vraie

On a Uk+1 Uk

donc f(Uk+1) ? f(Uk)

voilà, je ne sais pas quel signe mettre ici puisque ma fonction n'est pas monotone. Normalement,je ne devrais pas changé le signe pour aboutir à ce qu'on me demande de démontrer mais comme la fonction est aussi décroissante.. Bref, je suis perdue.

Posté par babouche babouche

:?

Posté par watik watik

bonjour

Un>=0 par récurrence tu l'as fait

pour montrer que Un est décroissance il te suffit de montrer que Un+1/Un <= 1

Tu as Un+1/Un=exp(-Un)

si Un>=0 donc -Un<=0 donc exp(-Un)<=exp(0) car la fonction exponentielle est croissante
donc exp(-Un)<=1 donc Un+1/Un <=1 donc Un+1<=Un car Un>=0 donc Un est décroissante

voila

Posté par babouche babouche

de la façon dont est posé mon énoncé, j'avais cru comprendre que je devais aussi montrer que la suite est décroissante par récurence, non?

En tout cas, merci de ta réponse watik!

Posté par babouche babouche

Bonjour à toutes et à tous,

Je bloque pour al dernière question de mon exercice sur les suites. Je vous indique ce que j'ai trouvé et démontré avant au cas où il faudrait s'en servir:

U0=0,35

U(n+1)= Un exp(-Un)

La suite (Un) est décroissante et converge vers 0. ( tout ça, je ne pense pas qu'on s'en serve).

Sinon: Wn= ln(Un)

on a Un= Wn- W(n+1)

et voici la question: Soit Sn= U0+U1+U2+...+Un.

Montrer que Sn= W0-W(n+1) et en déduire lim Sn quand x tend vers + l'infini.

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Posté par babouche babouche



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Posté par Nightmare Nightmare

Bonjour

Tu as S(n)=W(0)-W(1)+W(1)-W(2)+...+W(n-1)-W(n)+W(n)-W(n+1)
Tu ne vois pas des simplications?

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Posté par Camélia Camélia

Bonjour





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Posté par Camélia Camélia

Salut Jord!

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Posté par Nightmare Nightmare

Salut Camélia

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Posté par babouche babouche

aaah oui merci à vous deux!!

mais comment je pourrais rédiger ça??

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Posté par Camélia Camélia

Comme ça! et en plus, toi tu peux barrer les termes qui s'en vont.

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Posté par babouche babouche

C'est pas dérangeant si je mets des "+...+" dans mon calcul?

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Posté par babouche babouche

En fait, c'est bon.

Sinon pour la limite de Sn quand x tend vers + l'infini, c'est bien - ??

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Posté par babouche babouche

Non, en fait maintenant que je fais ça au brouillon, je m'embrouille.
J'ai fait:

limW0= lim ln(Uo)= ln (0,35)

lim(Wn+1)=lim Wn-Un   or lim Un=0 puisque Un converge vers 0.

lim Wn= lim (ln(Un))
      =-

donc lim Sn= +

Est-ce exact??

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Posté par Camélia Camélia

Oui, c'est +

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