Bonjour.

Considérons la matrice B = I_n + A^tA.

On vérifie facilement que ^tB = B, donc, B est symétrique réelle.

Pour tout vecteur colonne X de Rⁿ :

^tX.B.X = ^tX(I_n + A^tA) = ^tX.X + ^tX.A.^tA.X

^tX.B.X = ^tX.X + ^t(^tAX).(^tAX) = ||X||² + ||^tAX||²

Donc, pour tout X, ^tX.B.X > 0.

Cela signifie que B définit sur Rⁿ une forme bilinéaire symétrique positive.

On sait que cela entraine : Sp(B) R₊.

Comme det(B) est le produit des valeurs propres de B, on a bien :

det(B) = det(I_n + A^tA) > 0