Récréation : huit points et leurs médiatrices

Posté par frenicle frenicle

Bonjour

Soit E un ensemble constitué de huit points du plan, vérifiant la propriété suivante :
La médiatrice de chaque segment joignant deux points de E contient deux autres points de E.



Sauriez-vous dessiner un tel ensemble de huit points ?

Cordialement
Frenicle

Posté par borneo borneo

Hello  

Posté par frenicle frenicle

Salut Borneo

Posté par Ju007 Ju007

Bonsoir,

Posté par frenicle frenicle

> Ju007

Posté par gloubi gloubi

Bonjour,



A+,

Posté par Ju007 Ju007

Bonjour,

Posté par frenicle frenicle

> gloubi



> Ju007

Posté par Ju007 Ju007

Bonsoir, je crois avoir enfin trouvé !

Posté par frenicle frenicle

> Ju007

Posté par Camélia Camélia

Bonjour frenicle

J'ai bien aimé ton défi! Alors quelques questions: pourquoi 8? Sais-tu s'il y a des conditions sur n pour le faire avec n points? Puis pourquoi 2? Peut-on imaginer un truc du même genre en demandant p points sur chaque médiatrice?

Posté par frenicle frenicle

Bonjour Camélia

Merci
Pour tout dire, j'avais lu un article sur des problèmes ouverts en géométrie. Un de ces problèmes consiste à savoir s'il existe une autre configuration que celle trouvée par Ju et vérifiant les mêmes conditions.
Il m'a semblé que, déjà, trouver la première n'était pas si simple et j'ai posé la question ici. Je n'ai aucune idée de la réponse au problème initial (avis aux amateurs...).
Quant à tes autres questions, très pertinentes au demeurant, je n'en sais rien non plus

Posté par Camélia Camélia

Merci! En voilà du boulot!

Posté par plumemeteore plumemeteore

Félicitations Frenicle
pour ne pas être en reste, j'ai calculé les coordonnées des points dans les quarts de plans, en posant que les points sur les axes sont à distance 1 du point d'origine
soit d la valeur absolue commune à ces coordonnées
la droite joignant le point sur l'axe vertical en bas et le point en haut à droite est d'équation :
[(d+1)/d]x - 1
elle passe par le milieu du segment qui joint le point sur l'axe horizontal à droite et le point en haut à gauche, qui a pour coordonnées ((1-d)/2; d/2)
à cette abscisse, l'équation de la droite donne :
(d+1)(1-d)/2d - 1 = d/2
(d+1)(1-d)/2d - 2d/2d = d²/2d
1-d² - 2d = d²
2d²+2d-1 = 0
d = [-1+V(1+2)]/2 (environ 0,366)
d peut se construire à la règle et au compas

Posté par plumemeteore plumemeteore

mes félicitations aussi à Ju

Posté par plumemeteore plumemeteore

rebonsoir
j'ai déterminé d de façon que les droites joignant chaque point sur un axe à un point de quart de plan de 'l'autre côté' soient médiatrices les unes des autres
déterminons d de façon qu'il en soient de même pour les droites joignant chaque point sur un axe à un point de quart de plan du 'même côté'
d'abord, dans l'un et l'autre cas, les droites forment des rectangles, car on se rend facilement compte que le coefficient directeur de l'une est l'inverse de l'opposé du coefficient directeur de l'autre
la droite joignant le point sur l'axe vertical en bas et le point inférieur droit est d'équation :
[(1-d)/d]x -1
elle passe par le milieu du segment qui joint le point sur l'axe horizontal à droite et le point en haut à droite, qui a pour coordonnées ((1+d)/2; d/2)
à cette abscisse, l'équation de la droite donne :
(1-d)(1+d)/2d - 1 = d/2
c'est exactement la même équation que dans l'autre cas; donc d est le même