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Espaces vectoriels

Posté par
babybelle 03-02-08 à 20:56

Bonsoir,

J'aurais besoin de votre aide pour l'énoncé suivant :

Soit n , n 1 et et l'application de n[X] dans n[X] défini par
(P) = XP' - P,     P n[X]

b) Déterminer Ker et Im suivant les valeurs de .
J'ai déjà démontré que est un endomorphisme.

Merci d'avance pour vos pistes !

édit Océane : forum modifié

Posté par
babybelleEspaces vectoriels 03-02-08 à 21:22

Bonsoir,

J'aurais besoin de votre aide pour l'énoncé suivant :

Soit n, n1 et et l'application de n[X] dans n[X] défini par
(P) = XP' - P,     P n[X]

b) Déterminer Ker et Im suivant les valeurs de .
J'ai déjà démontré que  est un endomorphisme.

Merci d'avance pour vos pistes !

*** message déplacé ***

Posté par
babybellebabybelle 03-02-08 à 21:23

Bonsoir,

J'aurais besoin de votre aide pour l'énoncé suivant :

Soit n, n1 et et l'application de n[X] dans n[X] défini par
(P) = XP' - P,     P n[X]

b) Déterminer Ker et Im suivant les valeurs de .
J'ai déjà démontré que  est un endomorphisme.

Merci d'avance pour vos pistes !

*** message déplacé ***

Posté par
babybelleEspaces vectoriels 03-02-08 à 21:24

Bonsoir,

J'aurais besoin de votre aide pour l'énoncé suivant :

Soit n, n1 et et l'application de n[X] dans n[X] défini par
(P) = XP' - P,     P n[X]

b) Déterminer Ker et Im suivant les valeurs de .
J'ai déjà démontré que  est un endomorphisme.

Merci d'avance pour vos pistes !

*** message déplacé ***

Posté par
ottore : Espaces vectoriels 03-02-08 à 21:24

Bonjour,
pour le Ker il suffit de résoudre l'équation différentielle que tu obtiens.

*** message déplacé ***

Posté par
ottore : Espaces vectoriels 03-02-08 à 21:24

déjà répondu

*** message déplacé ***

Posté par
babybellere : babybelle 03-02-08 à 21:25

veuillez excuser mes posts précédents, je me suis trompée à plusieurs reprises de titre ou de sujets de forum.

*** message déplacé ***

édit Océane : lorsque tu te trompes de forum, il est inutile de recréer un topic. Il finira par être déplacé au bon endroit Et pour le titre ... fais un petit aperçu avant de poster ton message. Merci

Posté par
babybellere : Espaces vectoriels 03-02-08 à 21:40

Et en ce qui concerne l'Im ?

Posté par
lafol Moderateurre : Espaces vectoriels 04-02-08 à 16:23

bonjour
tu as trouvé quoi pour le noyau ? Pense au th du rang, qui te renseignera sur la dimension de l'image ....

Posté par
babybellere : Espaces vectoriels 04-02-08 à 18:57

"re : Espaces vectoriels
posté par : otto
Bonjour,
pour le Ker il suffit de résoudre l'équation différentielle que tu obtiens."

Peut-on utiliser les equa diff pour des polynomes ?
Si oui alors ker XP'=P
et on étudie en fonction des valeurs de (=0, <0 ou >0)
c'est bien ça ?
et puis pour l'Im[smb]phi[/smb parcontre je ne sais pas comment m'y prendre

voila voila, vos éclairssissements me seront d'une grande utilité
merci

Posté par
Nightmarere : Espaces vectoriels 04-02-08 à 19:10

Bonsoir

Si l'on pose 3$\rm P=\Bigsum_{k=0}^{n} a_{k}X^{k}

On a 3$\rm \phi(P)=\Bigsum_{k=0}^{n} ka_{k}X^{k}-\Bigsum_{k=0}^{n} \lambda a_{k}X^{k}=\Bigsum_{k=0}^{n} (k-\lambda)a_{k}X^{k}

Si P est dans ker(f) alors :
3$\rm \forall k\in[|1,n|] : (k-\lambda)a_{k}=0
ie
3$\rm \forall k\in [|1,n|]-\{\lambda\} a_{k}=0

3$\rm Ker(f)=\mathbb{R}X^{\lambda} si lambda est entier inférieur à n, 3$\rm ker(f)={0} sinon

Posté par
babybellere : Espaces vectoriels 04-02-08 à 20:14

Et comment dois-je faire pour en déduire Im à partir de là ?

Posté par
Nightmarere : Espaces vectoriels 04-02-08 à 20:15

Pour Im(phi) regarde ce que vaut phi(X^k)

Posté par
babybellere : Espaces vectoriels 04-02-08 à 20:18

Je ne vois pas vraiment où je dois en venir...

Posté par
Nightmarere : Espaces vectoriels 04-02-08 à 20:23

Eh bien réfléchis un petit peu

N'oublie pas que tout polynôme s'écrit comme une combinaison linéaire de X^k et que phi est une application linéaire.

Si phi(X^k) donne ce que tu as trouvé, que peut donner phi(un polynôme quelconque) ?

Posté par
babybellere : Espaces vectoriels 04-02-08 à 20:30

Je ne sais pas, je suis désolé je n'arrive pas du tout à voir quelle méthode utiliser et quel résultat obtenir. Cela n'a jamais été fait en cours et je suis un peu perdu...

Posté par
Nightmarere : Espaces vectoriels 04-02-08 à 20:31

Bon si je te dis que pour toute famille F et toute application linéaire f, f(Vect(F))=Vect(f(F)) ?

Posté par
babybellere : Espaces vectoriels 04-02-08 à 20:33

non plus

Posté par
Nightmarere : Espaces vectoriels 04-02-08 à 20:35

Ben penche toi un peu plus longtemps sur le problème, je viens de te donner une propriété et 3 minutes après tu baisses les bras... Reviens peut être me voir dans un quart d'heure lorsque tu t'avoueras vraiment vaincu.

Posté par
babybellere : Espaces vectoriels 04-02-08 à 20:45

Je ne baisse pas les bras mais je dois avouer qu'il est difficile de comprendre tes explications lorsque le cours vu en classe est loin d'être dense. Elles me paraitraient certainement très claires si l'on avait approfondi davantage mais ce n'est pas le cas et les notions dont tu me parles me sont inconnues ( je parle de f(Vect(F))=Vect(f(F)) ).
Je suis désolé si tu as l'impression que je te fais perdre ton temps ou que j'attends seulement des réponses sans chercher mais ce n'est pas le cas. Je vais essayer de trouver des fiches de cours sur ce site afin de tenter de comprendre cet exercice...
Merci en tout cas pour ton aide

Posté par
Nightmarere : Espaces vectoriels 04-02-08 à 20:47

Tu n'as pas vu les sev engendrés par une famille de vecteur?

Posté par
babybellere : Espaces vectoriels 04-02-08 à 21:03

Nous l'avons parcouru rapidement en cours mais aucune application n'a été faite...
Je ne sais donc pas comment faire dans un exercice !

Posté par
Nightmarere : Espaces vectoriels 04-02-08 à 21:14

Bon alors :

L'idée est que 3$\rm \phi(X^{k})=(k-\lambda)X^{k}

Ainsi on va pouvoir obtenir n'importe quel polynôme qui ne contient pas de 3$\rm X^{\lambda}

En effet :
Par exemple pour obtenir 3$\rm 2X+5X^{3} :

on sait que 3$\rm \phi(X)=(1-\lambda)X
On en déduit que 3$\rm \phi\(\frac{2}{1-\lambda}X\)=2X
De même 3$\rm \phi\(\frac{5}{3-\lambda}X^{3}\)=5X^{3}

D'où 3$\rm \phi\(\frac{2}{1-\lambda}X+\frac{5}{3-\lambda}X^{3}\)=2X+5X^{3}

Par contre pour obtenir un 3$\rm X^{\lambda} il nous faut du 3$\rm X^{\lambda} dans le polynôme dont on calcule l'image, or 3$\rm \phi(X^{\lambda})=0 d'où l'impossibilité d'avoir du 3$\rm X^{\lambda}

Bref, on a donc que 3$\rm Im(\phi)=Vect\((X^{k})_{k\in\mathbb{N}-\{\lambda\}}\)

Compris?

Posté par
babybellere : Espaces vectoriels 04-02-08 à 21:24

Maintenant je vois où tu voulais en venir et j'ai bien compris ton développement. Seulement nous n'avons jamais vu cela en cours et ça m'étonne que mon prof attende de nous une telle démonstration... Jamais je n'aurais trouvé ça seul (et pour cause) et je suis loin d'être le seul à avoir rencontré des difficultés face à ce problème dans la classe.
En partant de tes explications, je vais essayer de voir par moi-même ce que j'aurais dû faire.
Merci encore pour ton aide et pour ta patience  


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