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Beppo-Lévi

   
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#msg1631578 Posté le 04-02-08 à 11:39
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Bonjour,

je dois montrer que \Bigint_{0}^{\infty}\frac{e^t-1-t}{t^2}dt=1 en utilisant Beppo-Lévi.
J'ai écris \Bigint_{0}^{n}\frac{e^t-1-t}{t^2}dt=\Bigint_{0}^{\infty}\frac{e^t-1-t}{t^2}\mathbb{1}_{[0,n]}(t)dt=1 mais je n'aboutis pas!
re : Beppo-Lévi#msg1631629 Posté le 04-02-08 à 12:48
Posté par ProfilRodrigo Rodrigo

Bonjour.
A mon avis il y a un developpement en série...
re : Beppo-Lévi#msg1631633 Posté le 04-02-08 à 12:52
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Avec l'exponentielle?
re : Beppo-Lévi#msg1631639 Posté le 04-02-08 à 12:55
Posté par ProfilRodrigo Rodrigo

Oui...
re : Beppo-Lévi#msg1631653 Posté le 04-02-08 à 13:03
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Mince, c'est plutôt :
\Bigint_{0}^{\infty}\frac{e^t-1-t}{t^2}e^{-t}dt=1
re : Beppo-Lévi#msg1631662 Posté le 04-02-08 à 13:09
Posté par ProfilRodrigo Rodrigo

Développe en série entière la fraction!
re : Beppo-Lévi#msg1631672 Posté le 04-02-08 à 13:17
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

j'ai écris :
\frac{e^t-1-t}{t^2}e^{-t}=\frac{1-(1-t)e^{-t}}{t^2}

mais après je vois pas comment poursuivre!
1-(1-t)e^{-t}=1-(1-t)\Bigsum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k t^k}{k!}
re : Beppo-Lévi#msg1631677 Posté le 04-02-08 à 13:19
Posté par ProfilRodrigo Rodrigo

Non non le exp(-t) n'y touche pas...arrange toi pour avoir sum exp(-t)t^k/(k+2)! sous l'intégrale.
re : Beppo-Lévi#msg1631691 Posté le 04-02-08 à 13:30
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Ok j'y arrive :
e^t-1-t=\Bigsum_{k=0}^{\infty}\frac{t^k}{k!}-1-t=\Bigsum_{k=2}^{\infty}\frac{t^k}{k!}
Donc :
\frac{e^t-1-t}{t^2}=\frac{1}{t^2}\Bigsum_{k=2}^{\infty}\frac{t^k}{k!}=\Bigsum_{k=2}^{\infty}\frac{t^{k-2}}{k!}=\Bigsum_{k=0}^{\infty}\frac{t^{k}}{(k+2)!}

On a ton résultat :
\Bigint_{0}^{\infty}\frac{e^t-1-t}{t^2}dt=\Bigint_{0}^{\infty}\Bigsum_{k=0}^{\infty}\frac{t^{k}}{(k+2)!}e^{-t}dt=\Bigsum_{k=0}^{\infty}\Bigint_{0}^{\infty}\frac{t^{k}}{(k+2)!}e^{-t}dt (c'est ici qu'intervient Beppo-Lévi)

Il reste à étudier :
\frac{1}{(k+2)!}\Bigint_{0}^{\infty}t^{k}e^{-t}dt ??
re : Beppo-Lévi#msg1631851 Posté le 04-02-08 à 16:28
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Ok en fait c'est bon, je trouve bien 1.

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