Exercice sur les logarithmes

Posté par Remtaril Remtaril

<sub>[/sub]Bonjour à tous, voici, un petit exercice, qui, j'en suis sûr vous plaira. Quant à moi, j'essaie désespérément de le résoudre (pour tout vous dire j'ai 3 feuilles à côté de moi pleine de calculs et compagnie). J'attends de l'aide de votre part qui sera encore et toujours, j'espère de grande qualité. Merci pour l'aide apporté, je vous envoie l'exercice ^^

A) Soient f et g les fonctions définies sur ]0;+[ par :
f(x)=(1/(x+1))-ln(x+1)+ln x    ;    g(x)=(1/(x+1))-ln(x+2)+ln(x+1)
Etudier le sens de variation de f et le sens de variation de g
Bon ben ici pas trop le choix, on cherche la dérivé, moi je trouve f'(x)=1/(x(x+1)²) je trouve donc la fonction f croissante sur ]0;+[ (car défini sur cet intervalle). Je trouve ensuite g'(x)=-1/((x+2)(x+1)²) je trouve donc la fonction g décroissante sur ]0;+[

En déduire le signe de f et le signe de g sur ]0;+[
Ben il faut trouver les limites (j'en ai même parlé a ma prof de math, elle m'a dit que c'était bon) mais en les cherchant, PATATRAC valeurs indéterminés, donc je suis déjà bloqué ici, je n'arrive vraiment pas a trouvé de changement de variables ou alors des propriétés qui pourraient m'aider


B) On considère les suites (u[sub]n</sub>) et (v_n) telles que pour n élément de *,
u_n=_k=1^k=n(1/k)-ln n    ;    v_n=_k=1^k=n(1/k)-ln(n+1)
1) En utilisant la calculatrice, observer le comportement des deux suites ; quelles conjectures peut-on formuler ?
ben la la conjecture je sais pas trop parce que je sais pas trop utiliser la calculatrice mais sûrement qu'elle doivent tendre vers un même nombre. En plus il y a un "s" à conjectures, il doit alors surement y en avoir plusieurs ?

2) a) Prouver que pour tout n élément de *, u_n+1-u_n=(1/(n+1))-ln(n+1)+ln n ; en déduire le sens de variation de la suite (u_n).

b) Etudier le sens de variation de la suite (v_n).

3) Montrer que les suites (u_n) et (v_n) sont convergeantes et convergent vers le même réel l

4) Pour quelles valeurs de n l'écart entre u_n et v_n est-il inférieur ou égal à 10^-3 ? Donner une valeur approchée de l à 10^-3 près par défaut.






Voila, merci si vous pouvez m'aider, je tient à préciser que ceci n'est pas un DM au cas ou, pour ceux qui chercherai à critiquer, ce ne sont juste des exercices que je fait pour m'entraîner personnellement. Merci et je l'espère à bientôt ^^

Posté par Aurelien_ Aurelien_

Bonsoir,

A) je suis d'accord avec tes dérivées, leur signe et les variations de f et g.

quelles sont les limites sur lesquelles tu bloques ?
pense à utiliser au besoin la formule: ln(a)-ln(b)=ln(a/b)

Posté par Remtaril Remtaril

ce sont la limite en + infini de f              et aussi en 0 et en + infini pour g

Posté par Aurelien_ Aurelien_

pour la limite de f et la limite de g en +infini, tu devrais pouvoir t'en sortir avec la formule que je t'ai donnée.

pour la limite de g en 0, je ne vois pas où est le problème, en remplacant x par 0...

Posté par Remtaril Remtaril

ah oui merci bcp, en effet je trouve que ca tend vers 0 donc les l'une et positive l'autre negative, merci, mais il y a aussi le reste :s

Posté par Aurelien_ Aurelien_

pour le reste, je dois quitter le forum pour le moment, mais j'y jetterai peut-etre un coup d'oeil ce soir ...

Posté par Remtaril Remtaril

d'accord ce serait super simpa merci

Posté par Aurelien_ Aurelien_

B1) je n'ai pas de calculette, je ne peux pas t'aider pour cette question

2) calcul Un+1 - Un avec les formules précédentes,
pour Un+1: décompose la somme pour k allant de 1 à n+1 en la somme de k allant de 1 à n et le terme en n+1 séparément.

Posté par Remtaril Remtaril

rebonjour a tous, là j'ai vraiment besoin d'aide, après avoir bloqué je me suis décoincé mais maintenant je suis rebloqué a la question 2)a), je n'arrive pas a prouver l'égalité un+1-un, si vous pouviez m'aider ce serait super simpa merci

Posté par Aurelien_ Aurelien_

tu as essayé comme je t'ai dit ?

Posté par Remtaril Remtaril

non mais en fait c'est bon j'ai trouver c'est que j'ai mal compris la question
mais par contre je suis bloqué je sais pas du tout comment faire apparaitre les deux suites sur ma calculatrice, si quelqu'un pouvait m'aider :s merci beaucoup pour ton aide aurélien