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Espace euclidien

Posté par
clemclem Posteur d'énigmes 06-02-08 à 21:46

Bonjour,

Voici deux exos pour lesquels j'aurais besoin de pistes :
1) Soit u appartenant à O(E) (E euclidien), montrer que Im(u-Id) et Ker(u-Id) sont orthogonaux.
Montrer que la suite k->\frac{1}{k}(x+u(x)+...+u^{k-1}(x)) converge.

2)A et B matrices symètriques positives telles que : transposée(X)AX < transposée(X)BX
Montrer que 0<det A < det B

Merci d'avance
A plus

Posté par
Nightmarere : Espace euclidien 06-02-08 à 21:52

Salut

Considère (x,y) dans Ker(u-Id)*Im(u-Id).

On a un t tel que y=f(t)-t et x est un point fixe.
Essaye alors de montrer que < x,y > est nul

Ensuite utilise le théorème du rang.

Posté par
clemclem Posteur d'énigmesre : Espace euclidien 06-02-08 à 22:12

Bon j'ai réussi à montrer que <x|y> donc Im(u-Id) et Ker(u-Id) sont orthogonaux.

Pour la deuxième indication, je ne vois pas à quoi elle sert (c'est pour le deuxième exercice).

Posté par
Nightmarere : Espace euclidien 06-02-08 à 22:15

Oui non en fait c'était pour montrer qu'en plus ils étaient supplémentaires mais en fait ce n'est pas demandé

Posté par
clemclem Posteur d'énigmesre : Espace euclidien 06-02-08 à 22:16

Si tu inventes des questions alors...Suis pas couché!

Posté par
clemclem Posteur d'énigmesre : Espace euclidien 06-02-08 à 22:16

Des idées pour les autres questions?

Posté par
Nightmarere : Espace euclidien 06-02-08 à 22:18

Qu'est-ce que x dans ta deuxième question?

Posté par
clemclem Posteur d'énigmesre : Espace euclidien 06-02-08 à 22:21

Dans la question 2) X  appartient à \mathbb{R}^n sinon pour la suite x est un élément de E.

Posté par
Dremire : Espace euclidien 07-02-08 à 15:18

Soit y_k(x)=\frac{1}{k}\,\left(x+u(x)+...+u^{k-1}(x)\right),\ x\in E.
On a montré que E=Ker(u-id)\,\bigoplus\,Im(u-id) (car F\bigcap F^{\bot}=\{0\} et théorème du rang pour u-id).
Donc pour tout x\in E,\ x=x_1+x_2,\ x_1\in Ker(u-id),x_2\in Im(u-id), on a
y_k(x)=y_k(x_1)+y_k(x_2)=x_1+\frac{1}{k}(u^k-id)(t), où t\in E\,/\,u(t)-t=x_2.
Mais ||(u^k-id)(t)||_2\leq |||u^k-id|||_2\,||t||_2\leq \left(|||u^k|||_2+|||id|||_2\right)\,||t||_2\leq 2\,||t||_2 car u^k,\,id\in O(E)\ \Rightarrow\ |||u^k|||_2=|||id|||_2=1.
D'où \lim_{k\to+\infty}y_k(x)=x_1+0=x_1.


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