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espace métrique
Bonjour,
j'ai un peu de mal à comprendre ce qu'on attend au niveau de quelques questions:
On considère l'espace muni de la métrique
.
1) Pour un entier donné, que dire de la boule ouverte
si
très petit? Que peut-on en déduire des ouverts de
pour cette métrique?
La topologie de ainsi obtenue est-elle la même que celle induite par la topologie usuelle de
.
Bon pour le premier point, je trouve que .
Je ne vois pas déjà ce qu'on peut dire de mieux pour ce premier point au niveau de la description de ces boules.
Merci pour vos indications. 
Bonjour romu,
je crois qu'il faut que tu prouves que B(n,epsilon) est réduite à un singleton, pour epsilon assez petit.
ah oui effectivement, merci ju.
ok, donc les singletons sont ouverts et la topologie pour d sur IN est la topologie discrète, qui est la même que celle induite par la topologie usuelle de IR.
J'aurai tendance à dire que cela entraîne que deux topologies sont homéomorphes.
Mais mon prof m'a assuré que non, voilà sa version, que j'ai un peu de mal à comprendre.
La boule ouverte B(n,e) est formée des entiers m tels que n/(1+ne) < m < n/(1-ne).
(e est pris suffisamment petit pour que 1-ne soit positif).
On a ainsi B(n,e)={m tels que E(n/(1+ne)< m < E(n/1-ne)}.
La seconde distance est moins fine que celle issue de la "valeur absolue".
Ses ouverts sont des réunions d'intervalles entiers semi-fermés supérieurement.
Je ferais comme ça mais je suis pas sûr:
Dans muni de sa topologie usuelle,
converge et a pour limite 0, donc
est une suite de Cauchy ie pour tout
, il existe
tel que
Donc est une suite de Cauchy dans
Bonjour,
OUi je pense que ce que tu as dit est très bien tu peux même exhiber un N,
||
|| |
|
donc si n et m sont tels que <
/2 soit N > , or un tel N existe bien car N n'est pas majorée, tu peux prendre la partie entière de 2/epsilon + 1 par exemple, et donc tu as montré l'existence d'un N donc ta suite est bien de Cauchy
oup's j'ai m@&d# avec le LaTeX, il y a un plus entre les deux membres de l'inégalité à droite, et c'est 1\m tout à gauche...je pense que tu avais compris mais bon...
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