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Algèbre

Posté par
Shake
07-02-08 à 14:38

Salut j'aurais besoin de votre aide

sur l'exo suivant :

Soit trois matrices A B C de Mn(R) tel que (p+1)C B^p = A B^p -B^p A

Montrer que det(BC)=0

Posté par
Shake
re : Algèbre 07-02-08 à 14:41

Je propose

Supposons que BC est inversible donc rg(BC)=n et comme rg(BC)<ou= min( rgB, rgC ) on a rg C = rg B = n et C et B inversible aussi

On compose alors à droite par B^-p

On a alors (p+1)C = A -B^p A B^-p

Ensuite  si A est non inversible rg A strictement inférieur à n donc contradiction sur les rang de l'égalité précédente

Par contre si A est inversible je bloque

Posté par
Rodrigo
re : Algèbre 07-02-08 à 14:43

Je vois pas pourquoi le fait que le rang de A soit <n apprte une contradiction?
Ton égalité est valable pour tout p?

Posté par
Shake
re : Algèbre 07-02-08 à 14:47

bah je pense que le rang de A -B^p A B^-p est strictement inférieur à n et que comme celui de C vaut n contradiction

L'égalité est valable pour tout p dans N*

Posté par
Rodrigo
re : Algèbre 07-02-08 à 14:50

Pourquoi le rang de A-B^pAB^-p ne serait pas n?

Posté par
Shake
re : Algèbre 07-02-08 à 14:56

à cause du A justement le rang de la composition de deux endomorphismes est inférieur au plus petit rang des deux

Posté par
Rodrigo
re : Algèbre 07-02-08 à 14:57

J suis d'accor que le range de B^p A B^-p est le range de A mais pour quoi le rang de A-B^p A B^-p serait aussi le rang de A? C'est faux...

Posté par
Shake
re : Algèbre 07-02-08 à 14:57

donc B^p A est de rang inférieur à celui de A

donc B^p A B^-p aussi et ensuite on soustrait un endomorphisme de rang A avec un endomorphisme de rang inférieur

donc le tout est inférieur à A

Posté par
Shake
re : Algèbre 07-02-08 à 14:58

il est pas égal mais forcément inférieur

Posté par
Rodrigo
re : Algèbre 07-02-08 à 15:01

Non c'est faut regarde les deux matrices
\begin{pmatrix}
 \\ 1 && 0 \\
 \\ 0 && 0
 \\ \end{pmatrix}
Et
\begin{pmatrix}
 \\ 0&& 0 \\
 \\ 0 && 1
 \\ \end{pmatrix}

Elles sonte de rang 1 et leur somme de rang 2

Posté par
Shake
re : Algèbre 07-02-08 à 15:03

ah oué exacte ( je pensais qu'en sommant les endomorphismes on gagnait pas en rang ) mais en fait si aie jsuis parti sur une mauvaise piste alors ...

t'as une idée ?

Posté par
Rodrigo
re : Algèbre 07-02-08 à 15:05

Essaie de dévélopper le crochet [A,B^p] (comme pour la formule de Liebniz)

Posté par
Shake
re : Algèbre 07-02-08 à 15:08

qu'est ce que t'entends par développer le crochet ?

Posté par
Rodrigo
re : Algèbre 07-02-08 à 15:10

Il suffit de regarder le cas pour p=1

Posté par
Rodrigo
re : Algèbre 07-02-08 à 15:11

Ah oui décolé le crochet [X,Y] est défini par [X,Y]=XY-YX

Posté par
Rodrigo
re : Algèbre 07-02-08 à 15:11

Montre que [A,B²]=2CB²+2BCB

Posté par
Shake
re : Algèbre 07-02-08 à 15:12

oui j'ai pensé à p=1 au premiers abord mais j'ai pas aboutit je vais y reréfléchir et je proposerais ...

Posté par
Rodrigo
re : Algèbre 07-02-08 à 15:14

Est ce que tu vois comment conclure à partir de [A,B²]=2CB²+2BCB?

Posté par
Shake
re : Algèbre 07-02-08 à 15:44

euu d'abord escuse moi d'avoir été aussi long

alors bah je vois pas comment t'as obtenu ta relation parce que si on prend p=1

on obtient [A,B²] = 2 CB²

Posté par
Shake
re : Algèbre 07-02-08 à 15:45

oups pour p = 1 c [ A , B ]= 2 CB

Posté par
Shake
re : Algèbre 07-02-08 à 15:53

ah pardon j'avais loupé un post je reprend

Posté par
Rodrigo
re : Algèbre 07-02-08 à 15:54

Est ce que tu vois que [A,B²]=[A,B]B+B[A,B].

Posté par
Shake
re : Algèbre 07-02-08 à 16:04

Oui je vois ok donc c'est bon de là on a directement la relation plus haut mais après comment conclure ?

Posté par
Rodrigo
re : Algèbre 07-02-08 à 16:07

Tu te retvouves donc avec CB²=2BCB...prends les determiants tu as fini.

Posté par
Shake
re : Algèbre 07-02-08 à 16:15

ah oui d'accord c'est bon

det(CB²)=det(CB)det(B) et det(2BCB)=det(2B)det(CB)

bah merci beaucoup Rodrigo et bonne aprem



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