Salut j'aurais besoin de votre aide
sur l'exo suivant :
Soit trois matrices A B C de Mn(R) tel que (p+1)C B^p = A B^p -B^p A
Montrer que det(BC)=0
Je propose
Supposons que BC est inversible donc rg(BC)=n et comme rg(BC)<ou= min( rgB, rgC ) on a rg C = rg B = n et C et B inversible aussi
On compose alors à droite par B^-p
On a alors (p+1)C = A -B^p A B^-p
Ensuite si A est non inversible rg A strictement inférieur à n donc contradiction sur les rang de l'égalité précédente
Par contre si A est inversible je bloque
Je vois pas pourquoi le fait que le rang de A soit <n apprte une contradiction?
Ton égalité est valable pour tout p?
bah je pense que le rang de A -B^p A B^-p est strictement inférieur à n et que comme celui de C vaut n contradiction
L'égalité est valable pour tout p dans N*
à cause du A justement le rang de la composition de deux endomorphismes est inférieur au plus petit rang des deux
J suis d'accor que le range de B^p A B^-p est le range de A mais pour quoi le rang de A-B^p A B^-p serait aussi le rang de A? C'est faux...
donc B^p A est de rang inférieur à celui de A
donc B^p A B^-p aussi et ensuite on soustrait un endomorphisme de rang A avec un endomorphisme de rang inférieur
donc le tout est inférieur à A
ah oué exacte ( je pensais qu'en sommant les endomorphismes on gagnait pas en rang ) mais en fait si aie jsuis parti sur une mauvaise piste alors ...
t'as une idée ?
oui j'ai pensé à p=1 au premiers abord mais j'ai pas aboutit je vais y reréfléchir et je proposerais ...
euu d'abord escuse moi d'avoir été aussi long
alors bah je vois pas comment t'as obtenu ta relation parce que si on prend p=1
on obtient [A,B²] = 2 CB²
Oui je vois ok donc c'est bon de là on a directement la relation plus haut mais après comment conclure ?
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