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désintégration radioactive et équations différentielles (TS)

Posté par halo-spice (invité) 08-02-08 à 19:11

bonjours a tous! d'habitude je fais mes DM seuls mais là j'avoue que cet exercice est plutôt bizard je trouve... c'est un exercice sur les équations différentielles mais il faut trouver les équations nous même à partir d'un énoncé sur la désintégration des corps radioactifs... j'avoue que ça me perturbe ^^
je vous poste l'exercice vous en jugerez par vous même

"Un corps radioactif se désintègre en transformant une partie de ses noyaux. On désigne par N(t) le nombre de noyaux à l'instant t (t est le temps exprimé en jours). On peut établir que la fonction N est solution de l'équation N'=-yN où y est un réel positif appelé constante radioactive du corps.
1) Soit No le nombre de noyaux à l'instant t=0. Déterminer N(t) en fonction de No, y et t.
2) On appelle période ou demi vie du corps radioactif le temps T au bout duquel le nombre d'atimes de ce corps a diminué de moitié.
a) prouver que e(yt)=2.
                                             ... "

Il y a encore  plusieurs questions mais je bloque à la question 2.a) donc pas besoins de poster le reste pour l'instant ^^

pour la question 1) je trouve N=C*e(-yt) avec C une constante quelconque et puisque N(t=0)=No alors N=No*e(-yt).
par contre pour la 2a) .... je sèche
je trouve que NT= 1/2No mais ensuite vous pouvez m'aider? ou me donner une piste ^^

merci d'avance et bonne soirée!

Posté par halo-spice (invité)équations différentielles et désintégration radioactive (TS) 08-02-08 à 19:12

bonjours a tous! d'habitude je fais mes DM seuls mais là j'avoue que cet exercice est plutôt bizard je trouve... c'est un exercice sur les équations différentielles mais il faut trouver les équations nous même à partir d'un énoncé sur la désintégration des corps radioactifs... j'avoue que ça me perturbe ^^
je vous poste l'exercice vous en jugerez par vous même

"Un corps radioactif se désintègre en transformant une partie de ses noyaux. On désigne par N(t) le nombre de noyaux à l'instant t (t est le temps exprimé en jours). On peut établir que la fonction N est solution de l'équation N'=-yN où y est un réel positif appelé constante radioactive du corps.
1) Soit No le nombre de noyaux à l'instant t=0. Déterminer N(t) en fonction de No, y et t.
2) On appelle période ou demi vie du corps radioactif le temps T au bout duquel le nombre d'atimes de ce corps a diminué de moitié.
a) prouver que e(yt)=2.
                                             ... "

Il y a encore  plusieurs questions mais je bloque à la question 2.a) donc pas besoins de poster le reste pour l'instant ^^

pour la question 1) je trouve N=C*e(-yt) avec C une constante quelconque et puisque N(t=0)=No alors N=No*e(-yt).
par contre pour la 2a) .... je sèche
je trouve que NT= 1/2No mais ensuite vous pouvez m'aider? ou me donner une piste ^^

merci d'avance et bonne soirée!

*** message déplacé ***

Posté par halo-spice (invité)re : désintégration radioactive et équations différentielles (TS 08-02-08 à 19:14

désolé du double post mais je ne sais pas comment supprimer celui-ci...

Posté par
Thallo
re : désintégration radioactive et équations différentielles (TS 08-02-08 à 19:30

N(T)=No*exp(-yT)=No/2
comme No différent de 0, on simplifie, d'où exp(-yT)=1/2
or exp(-x)=1/exp(x), donc on obtient au final exp(yT)=2

voilà

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : désintégration radioactive et équations différentielles (TS 08-02-08 à 19:31

1)

N'=-yN avec y une constante

Solutions de cette équation différentielle: N = K.e^-(y.t)
et avec N(0) = No, on trouve : No = K.e^0 --> K = No

N = No.e^(-y.t)
-----
2)

a)
On a N = No/2 pour t = T -->

No/2 = No.e^(-y.T)
1/2 = e^(-y.T)
e^(yT) = 2
-----

Sauf distraction.  

Posté par
Marcel Moderateur
re : désintégration radioactive et équations différentielles (TS 08-02-08 à 19:31

Bonsoir,

N = N0.e-yt (oui, c'est bien ça)

N = N0/2 N0.e-yt = N0/2 e-yt = 1/2 eyt = 2

Posté par halo-spice (invité)re : désintégration radioactive et équations différentielles (TS 08-02-08 à 19:46

pfiou 3 réponses simultanées ^^
merci j'ai compri!
moi j'étais parti sur N=1/2No donc e(-yt)=1/2 et après je bloquais.

ensuite il faut justifier qu'il existe un nombre réel unique a tel que e(a)=2.
Je sais qu'il faut existe une seule solution a cette équation car la fonction exponentielle est continue et strictement croissante mais à ce genre de question je n'ai jamais les points en contrôle... (ca m'énerve d'ailleurs ^^)
ca ne suffi pas de dire que la fonction est dérivable, continue et monotone pour répondre?

Posté par halo-spice (invité)re : désintégration radioactive et équations différentielles (TS 08-02-08 à 20:28

désolé d'insister mais c'est pour demain à la 1ère heure...

Posté par
Mzelle-Rbx
re : désintégration radioactive et équations différentielles (TS 09-11-11 à 15:43

Bonjour, ce topic est ancien mais j'ai le même sujet et je bloque justement à la troisiéme question. J'ai eu bon pour les deux premières mais je ne voit vraiment pas ce qui me permettra de trouver e=2. Pourriez vous m'aider svp.

Posté par
Mzelle-Rbx
re : désintégration radioactive et équations différentielles (TS 09-11-11 à 16:19

Supposons que e=2. On a eT=2 D'où:
e=eT
=T
Puisque et T sont constants, il existe un réel unique tel que e=2.

Est ce que cette justification est bonne ?

Posté par
cailloux Correcteur
.. 09-11-11 à 18:44

Bonsoir,

Je suppose que tu bloques à la 2)a) (je ne vois pas de question 3))...

On a donc N(t)=N_0e^{-yt}

Et N(T)=\dfrac{N_0}{2}=N_0e^{-yT}

On en déduit que e^{-yT}=\dfrac{1}{2}

d' où e^{yT}=2



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