Signe d'un polynome du 3e degré
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Signe d'un polynome du 3e degré
Posté le 09-02-08 à 17:37
Posté par 
kikou11 kikou11
Bonjour,
J'ai un exercice qui commence par P(x) = P = 1/3x3 + 1/2x² - 2x + 7/6.
1) Etudier son signe sur R...
je suis bloqué dès la 1ere question. Quelle est la méthode pour trouver le signe de ce polynome ?
merci d'avance
kikou11 kikou11Bonjour,
J'ai un exercice qui commence par P(x) = P = 1/3x3 + 1/2x² - 2x + 7/6.
1) Etudier son signe sur R...
je suis bloqué dès la 1ere question. Quelle est la méthode pour trouver le signe de ce polynome ?
merci d'avance
re : Signe d'un polynome du 3e degré Posté le 09-02-08 à 17:39
Posté le 09-02-08 à 17:39Posté par gui_tou gui_tou
Salut
première méthode : remarque que 1 est racine de l'équation P(x)=0
deuixième méthode : étudie la fonction P(x) (dérivée etc)
gui_tou gui_touSalut
première méthode : remarque que 1 est racine de l'équation P(x)=0
deuixième méthode : étudie la fonction P(x) (dérivée etc)
Signe d'un polynome du 3e degré Posté le 09-02-08 à 17:40
Posté le 09-02-08 à 17:40Posté par raymond raymond 
Bonjour.
Ce problème a été posé ce matin, mais l'énoncé précisait que ce polynôme était divisible par (x - 1)².
raymond raymond Bonjour.
Ce problème a été posé ce matin, mais l'énoncé précisait que ce polynôme était divisible par (x - 1)².
re : Signe d'un polynome du 3e degré Posté le 09-02-08 à 17:42
Posté le 09-02-08 à 17:42Posté par tortue tortue
bonsoir
remarque que x= 1 est racine du polynôme tu peux mettre x- 1 en facteur
tortue tortuebonsoir
remarque que x= 1 est racine du polynôme tu peux mettre x- 1 en facteur
re : Signe d'un polynome du 3e degré Posté le 09-02-08 à 17:52
Posté le 09-02-08 à 17:52Posté par kikou11 kikou11
@ disdrometre :
J'ai deja fais la dérivée : P' = x² + x - 2 = (x-1)(x+2).
donc 1 et -2 sont racines
mais après je ne sais qu étudier le sens de variation d'une fonction grace a sa dérivée mais pas son signe
@gui_tou : 1 est racine de l'équation P(x)=0 et après que puis-je faire ?
@raymond :
Quant au fait qu'elle peut se factoriser par (x-1)², c'est en effet une donnée mais elle apparait uniquement dans la question 4) de mon exercice donc je ne pense pas avoir à factoriser par (x-1)² dans la question 1) puis monter que l'on peut factoriser par (x-1)² dans la question 4) !
kikou11 kikou11@ disdrometre :
J'ai deja fais la dérivée : P' = x² + x - 2 = (x-1)(x+2).
donc 1 et -2 sont racines
mais après je ne sais qu étudier le sens de variation d'une fonction grace a sa dérivée mais pas son signe
@gui_tou : 1 est racine de l'équation P(x)=0 et après que puis-je faire ?
@raymond :
Quant au fait qu'elle peut se factoriser par (x-1)², c'est en effet une donnée mais elle apparait uniquement dans la question 4) de mon exercice donc je ne pense pas avoir à factoriser par (x-1)² dans la question 1) puis monter que l'on peut factoriser par (x-1)² dans la question 4) !
re : Signe d'un polynome du 3e degré Posté le 09-02-08 à 17:54
Posté le 09-02-08 à 17:54Posté par gui_tou gui_tou
1 est racine de P(x) et de P'(x) donc 1 est racine double de P.
On peut donc écrire :=(x-1)^2(ax+b))
à toi de déterminer a et b en développant et en identifiant par exemple.
gui_tou gui_tou1 est racine de P(x) et de P'(x) donc 1 est racine double de P.
On peut donc écrire :
re : Signe d'un polynome du 3e degré Posté le 09-02-08 à 17:54
Posté le 09-02-08 à 17:54Posté par kikou11 kikou11
Pardon je n'ai rien dit : P' = x² + x - 2 et P = (x-1)(x+2). Mon probleme est resolu, merci
kikou11 kikou11Pardon je n'ai rien dit : P' = x² + x - 2 et P = (x-1)(x+2). Mon probleme est resolu, merci
re : Signe d'un polynome du 3e degré Posté le 09-02-08 à 18:09
Posté le 09-02-08 à 18:09Posté par kikou11 kikou11
ah ba oui, je me suis réjoui trop vite ! donc je suis toujours bloqué ! comment faire ? merci
kikou11 kikou11ah ba oui, je me suis réjoui trop vite ! donc je suis toujours bloqué ! comment faire ? merci
re : Signe d'un polynome du 3e degré Posté le 09-02-08 à 18:10
Posté le 09-02-08 à 18:10Posté par kikou11 kikou11
En fait, je voulais dire comment faire sans (x-1)² car le fait qu'il peut se factoriser par (x-1)², est une donnée mais elle apparait uniquement dans la question 4) de mon exercice donc je ne pense pas avoir à factoriser par (x-1)² dans la question 1) puis monter que l'on peut factoriser par (x-1)² dans la question 4) !
kikou11 kikou11En fait, je voulais dire comment faire sans (x-1)² car le fait qu'il peut se factoriser par (x-1)², est une donnée mais elle apparait uniquement dans la question 4) de mon exercice donc je ne pense pas avoir à factoriser par (x-1)² dans la question 1) puis monter que l'on peut factoriser par (x-1)² dans la question 4) !
re : Signe d'un polynome du 3e degré Posté le 09-02-08 à 18:23
Posté le 09-02-08 à 18:23Posté par gui_tou gui_tou
une autre méthode >
Mais je suis convaincu qu'une étude de fonction te ravira
gui_tou gui_touune autre méthode >
Mais je suis convaincu qu'une étude de fonction te ravira
re : Signe d'un polynome du 3e degré Posté le 09-02-08 à 18:28
Posté le 09-02-08 à 18:28Posté par kikou11 kikou11
on en revient toujours à factoriser par (x-1)², ca semble la seule issue d'après toutes vos réponses, donc à la question 4) de mon exo, je serais obligé de me répéter...
kikou11 kikou11on en revient toujours à factoriser par (x-1)², ca semble la seule issue d'après toutes vos réponses, donc à la question 4) de mon exo, je serais obligé de me répéter...
re : Signe d'un polynome du 3e degré Posté le 09-02-08 à 18:31
Posté le 09-02-08 à 18:31Posté par kikou11 kikou11
et qu'entendez vous par étude de fonction ?
j'ai la dérivé, les racines et donc le signe de la dérivée et le sens de variation de la fonction mais jamais le signe de la fonction... alors comment répondre a la question posée en étudiant la fonction à part la factoriser (par ce maudit (x-1)²) et étudier le signe de chaque terme ?
kikou11 kikou11et qu'entendez vous par étude de fonction ?
j'ai la dérivé, les racines et donc le signe de la dérivée et le sens de variation de la fonction mais jamais le signe de la fonction... alors comment répondre a la question posée en étudiant la fonction à part la factoriser (par ce maudit (x-1)²) et étudier le signe de chaque terme ?
re : Signe d'un polynome du 3e degré Posté le 09-02-08 à 18:45
Posté le 09-02-08 à 18:45Posté par J-P J-P
Il y a moyen de trouver le nombre de racines par l'étude du signe de la dérivée.
P' = (x-1)(x+2).
P' > 0 sur ]-oo ; -2[ --> P est croissante.
P' = 0 pour x = -2
P' < 0 sur ]-2; 1[ --> P est décroissante.
P' = 0 pour x = 1
P' > 0 pour x dans ]1 ; +oo[ --> P est croissante.
Il y a un max de P en X = -2, ce max vaut P(-2) = 4,5 > 0
Il y a un min de P en X = 1, ce min vaut P(1) = 0
lim(x-> -oo) P(x) = -oo
lim(x-> +oo) P(x) = +oo
De tout ce qui précède, on peut conclure qu'il y a une solution double x = 1 à P(x) = 0
Et on sait aussi qu'il y a une autre solution à P(x) = 0 dans l'intervalle ]-oo ; -2[, soit alpha cettte solution.
On a donc:
P(x) < 0 sur ]-oo ; alpha[
P(x) = 0 en x = alpha
P(x) > 0 sur ]alpha ; 1[
P(x) = 0 en x = 1
P(x) > 0 sur ]1 ; +oo[
Il reste à déterminer la valeur de alpha, soit en factorisant P(x) = (x-1)²(ax+b) ...
Soit en trouvant la valeur de alpha par approximations successives dans ]-oo ; -2[
-----
J-P J-P Il y a moyen de trouver le nombre de racines par l'étude du signe de la dérivée.
P' = (x-1)(x+2).
P' > 0 sur ]-oo ; -2[ --> P est croissante.
P' = 0 pour x = -2
P' < 0 sur ]-2; 1[ --> P est décroissante.
P' = 0 pour x = 1
P' > 0 pour x dans ]1 ; +oo[ --> P est croissante.
Il y a un max de P en X = -2, ce max vaut P(-2) = 4,5 > 0
Il y a un min de P en X = 1, ce min vaut P(1) = 0
lim(x-> -oo) P(x) = -oo
lim(x-> +oo) P(x) = +oo
De tout ce qui précède, on peut conclure qu'il y a une solution double x = 1 à P(x) = 0
Et on sait aussi qu'il y a une autre solution à P(x) = 0 dans l'intervalle ]-oo ; -2[, soit alpha cettte solution.
On a donc:
P(x) < 0 sur ]-oo ; alpha[
P(x) = 0 en x = alpha
P(x) > 0 sur ]alpha ; 1[
P(x) = 0 en x = 1
P(x) > 0 sur ]1 ; +oo[
Il reste à déterminer la valeur de alpha, soit en factorisant P(x) = (x-1)²(ax+b) ...
Soit en trouvant la valeur de alpha par approximations successives dans ]-oo ; -2[
-----
re : Signe d'un polynome du 3e degré Posté le 09-02-08 à 18:57
Posté le 09-02-08 à 18:57Posté par kikou11 kikou11
oui, c'est quand meme beaucoup plus compliqué... je crois que je vais me contenter de factoriser par (x-1)² comme vous le conseillez tous... et tant pis pour ma question 4) ! je pensais qu'il y avait une méthode pour trouver le signe d'un polynome mais apparemment c'est au hasard de la factorisation !...
kikou11 kikou11oui, c'est quand meme beaucoup plus compliqué... je crois que je vais me contenter de factoriser par (x-1)² comme vous le conseillez tous... et tant pis pour ma question 4) ! je pensais qu'il y avait une méthode pour trouver le signe d'un polynome mais apparemment c'est au hasard de la factorisation !...
Montrer le centre de symétrie d'une courbe Posté le 09-02-08 à 19:21
Posté le 09-02-08 à 19:21Posté par kikou11 kikou11
Bonjour,
J'ai beaucoup de problème avec cette fonction : P(x) = P = 1/3x3 + 1/2x² - 2x + 7/6.
Après avoir lutté pour trouver le signe de cette fonction, je bloque sur cette question : Montrer que le point I(-1/2 ; 9/4) est centre de symetrie de la courbe.
Merci
*** message déplacé ***
kikou11 kikou11Bonjour,
J'ai beaucoup de problème avec cette fonction : P(x) = P = 1/3x3 + 1/2x² - 2x + 7/6.
Après avoir lutté pour trouver le signe de cette fonction, je bloque sur cette question : Montrer que le point I(-1/2 ; 9/4) est centre de symetrie de la courbe.
Merci
*** message déplacé ***
re : Montrer le centre de symétrie d'une courbe Posté le 09-02-08 à 19:34
Posté le 09-02-08 à 19:34Posté par padawan padawan
Bonsoir,
COURS: A(a;b) est centre de symétrie de Cf si f(a-x)+f(a+x) = 2b.
Voilà,
padawan.
*** message déplacé ***
padawan padawanBonsoir,
COURS: A(a;b) est centre de symétrie de Cf si f(a-x)+f(a+x) = 2b.
Voilà,
padawan.
*** message déplacé ***
re : Montrer le centre de symétrie d'une courbe Posté le 09-02-08 à 20:13
Posté le 09-02-08 à 20:13Posté par kikou11 kikou11
mais j'ai jamais vu ca ! c'est au programme de première ?
*** message déplacé ***
kikou11 kikou11mais j'ai jamais vu ca ! c'est au programme de première ?
*** message déplacé ***
re : Montrer le centre de symétrie d'une courbe Posté le 09-02-08 à 20:18
Posté le 09-02-08 à 20:18Posté par cailloux cailloux
Re,
Une autre méthode:
Effectuer une translation d' axes de vecteur
L' origine du nouveau repère est en
.
La fonction correspondant à cette courbe dans le nouveau repère doit être impaire.
*** message déplacé ***
cailloux cailloux Re,
Une autre méthode:
Effectuer une translation d' axes de vecteur
L' origine du nouveau repère est en
La fonction correspondant à cette courbe dans le nouveau repère doit être impaire.
*** message déplacé ***
re : Montrer le centre de symétrie d'une courbe Posté le 09-02-08 à 20:29
Posté le 09-02-08 à 20:29Posté par kikou11 kikou11
comment faire la translation d'une fonction ? désolé mais je n'ai encore jamais vu ca...
*** message déplacé ***
kikou11 kikou11comment faire la translation d'une fonction ? désolé mais je n'ai encore jamais vu ca...
*** message déplacé ***
re : Montrer le centre de symétrie d'une courbe Posté le 09-02-08 à 20:31
Posté le 09-02-08 à 20:31Posté par cailloux cailloux
Je vais te le faire, mais ça risque d' être une peu long en
Sois patient...
*** message déplacé ***
cailloux cailloux Je vais te le faire, mais ça risque d' être une peu long en
Sois patient...
*** message déplacé ***
re : Montrer le centre de symétrie d'une courbe Posté le 09-02-08 à 20:51
Posté le 09-02-08 à 20:51Posté par cailloux cailloux
On choisit donc comme origine du nouveau repère: )
.
dans le repère )
dans le repère
On a donc
Soit
ou bien:\vec{i}+(Y+\frac{9}{4})\vec{j})
D' où les formules de transformations pour passer d' un repère à l' autre:
On est maintenant en mesure de chercher l' équation de
dans le nouveau repère:
dans le repère d' origine 
devient dans le repère d' origine
:
^3+\frac{1}{2}\left(X-\frac{1}{2}\right)^2-2\left(X-\frac{1}{2}\right)+\frac{7}{6})
Après développement, on trouve l' équation de dans le nouveau repère d' origine :
La fonction
est impaire:
=-F(X))
Sa courbe représentative présente donc une symétrie par rapport à l' origine du repère:
*** message déplacé ***
cailloux cailloux On choisit donc
On a donc
Soit
ou bien:
D' où les formules de transformations pour passer d' un repère à l' autre:
On est maintenant en mesure de chercher l' équation de
devient dans le repère d' origine
Après développement, on trouve l' équation de
La fonction
Sa courbe représentative présente donc une symétrie par rapport à l' origine du repère:
*** message déplacé ***
re : Montrer le centre de symétrie d'une courbe Posté le 10-02-08 à 10:31
Posté le 10-02-08 à 10:31Posté par kikou11 kikou11
merci beaucoup ! vraiment ! mais quand meme, c'est bizarre que je sois obligé d'apprendre "sur le tas" une telle démonstration ! c'est au programme de 1ere ?
*** message déplacé ***
kikou11 kikou11merci beaucoup ! vraiment ! mais quand meme, c'est bizarre que je sois obligé d'apprendre "sur le tas" une telle démonstration ! c'est au programme de 1ere ?
*** message déplacé ***
re : Montrer le centre de symétrie d'une courbe Posté le 10-02-08 à 13:34
Posté le 10-02-08 à 13:34Posté par cailloux cailloux
Re,
Je ne crois pas que ce soit au "programme" (à confirmer).
Mais cela fait partie des "techniques" qu' il est utile de connaître
De la même manière, il est utile de connaître la division euclidienne de polynômes hors programme en plus de la méthode classique d' identification pour les factorisations...
*** message déplacé ***
cailloux cailloux Re,
Je ne crois pas que ce soit au "programme" (à confirmer).
Mais cela fait partie des "techniques" qu' il est utile de connaître
De la même manière, il est utile de connaître la division euclidienne de polynômes hors programme en plus de la méthode classique d' identification pour les factorisations...
*** message déplacé ***
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