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couple de variables aléatoires

   
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re : couple de variables aléatoires#msg1912421 Posté le 13-06-08 à 12:20
Posté par Profilrobby3 robby3

ok,je crois que je commence à voir...

\large f_X(x)=ax\Bigint_0^{1-x} ydy-ax\Bigint_0^{x+1} ydy-ax\Bigint_0^{(x-1)} ydy+ax\Bigint_0^{-(x+1)} ydy

dans les cas respectifs:
*
1>x>0 \\ 1>y>0 et y\le 1-x \\
**
-1<x<0 \\ 1>y>0 et y\le 1+x

***
1>x>0 \\ 0>y>-1 et -y\le 1-x => y\ge x-1

****
-1<x<0 \\ -1<y<0 et -y\le 1+x =>y\ge -(x+1)

est-ce correct?
re : couple de variables aléatoires#msg1912425 Posté le 13-06-08 à 12:26
Posté par Profillafol lafol Correcteur

Doucement : x ne peut pas être à la fois positif et négatif !
commence par faire le calcul pour x positif : y varie de x-1 à 1-x, et comme tu intègres une fonction paire sur un domaine symétrique autour de zéro ....
re : couple de variables aléatoires#msg1912432 Posté le 13-06-08 à 12:35
Posté par Profilstokastik stokastik

Citation :
stokastik : D est la boule unité pour la norme 1, on peut considérer ça comme une figure "classique", non ?


Mince je suis à la masse, c'est d'abord ce que je m'étais dit et après j'ai changé d'avis. Bref j'ai pas vraiment réfléchi. Ok alors c'est clair!
re : couple de variables aléatoires#msg1912433 Posté le 13-06-08 à 12:36
Posté par Profilrobby3 robby3

Citation :
x ne peut pas être à la fois positif et négatif !

>oui, mais ou ais(-je écrit cette annerie

j'ai regarder le dessin...y'a 4 "portions"
à chaque portion,je regarde ou vit x et ou vit y et ensuite je regarde ce que donne |y|\le 1-|x|

Citation :
commence par faire le calcul pour x positif

>alors x positif, on a \large ax\Bigint_0^{1-x} ydy-ax\Bigint_0^{x-1} ydy=2ax\Bigint_{x-1}^{1-x} y dy

et pour les x négatifs:

\large ax\Bigint_0^{-(x+1)} ydy-ax\Bigint_0^{1+x} ydy=2ax\Bigint_{1+x}^{-(x+1)} y.dy=-2ax \Bigint_{-(x+1)}^{1+x} y.dy

non?
re : couple de variables aléatoires#msg1912440 Posté le 13-06-08 à 12:43
Posté par Profilrobby3 robby3

(je vais manger,je reviens)
re : couple de variables aléatoires#msg1912445 Posté le 13-06-08 à 12:50
Posté par Profillafol lafol Correcteur

quand tu avais 4 intégrales il y en avaient deux dans le cas x négatif, deux dans le cas x positif ....
pour tes nouveaux calculs :
d'où sortent les 2 ?
re : couple de variables aléatoires#msg1912468 Posté le 13-06-08 à 13:43
Posté par Profilrobby3 robby3

non le 2 est fantaisiste

donc au final:
\large f_X(x)=ax\Bigint_{x-1}^{1-x} y.dy-ax\Bigint_{-(x+1)}^{x+1} y.dy
??
re : couple de variables aléatoires#msg1912526 Posté le 13-06-08 à 14:45
Posté par Profillafol lafol Correcteur

Quand tu écris f_X(x), il faudrait que tu décides si x est positif ou négatif : s'il est positif, c'est une des intégrales, s'il est négatif, c'est l'autre !
re : couple de variables aléatoires#msg1912942 Posté le 13-06-08 à 19:51
Posté par Profilrobby3 robby3

Donc pour x positif:

\large f_X(x)=ax\Bigint_{x-1}^{1-x} y.dy=ax.[\frac{y^2}{2}]_{x-1}^{1-x}=0!!
sauf erreur
non?
re : couple de variables aléatoires#msg1912956 Posté le 13-06-08 à 20:00
Posté par Profilrobby3 robby3

pour x négatif,je trouve
\large f_X(x)=-ax(x+1)^2

je réfléchis pour f_Y(y)...
re : couple de variables aléatoires#msg1913003 Posté le 13-06-08 à 20:42
Posté par Profilrobby3 robby3

pour f_Y(y),peut-on dire que x et y jouent des roles symétriques...
on a \large f_Y(y)=a|y|\Bigint_{\{|x|\le 1-|y|\}} |x|dx
re : couple de variables aléatoires#msg1913248 Posté le 14-06-08 à 11:03
Posté par Profilrobby3 robby3

par contre pour l'espérance,j'ai des soucis de bornes...

\large E[X]=\Bigint_?^? -ax^2(x+1)^2 dx

x étant négatif...est-ce que les bornes de mon integrale sont -1 et 0 ??
re : couple de variables aléatoires#msg1913769 Posté le 14-06-08 à 20:10
Posté par Profilrobby3 robby3

suis-je sur la bonne voie là ??
re : couple de variables aléatoires#msg1914353 Posté le 15-06-08 à 20:27
Posté par Profilrobby3 robby3

quelqu'un?
re : couple de variables aléatoires#msg1914414 Posté le 15-06-08 à 22:10
Posté par Profillafol lafol Correcteur

me revoilou !
le 13/06/2008 à 19:51, tu as oublié la valeur absolue de y

je trouve pour x positif f_X(x)=ax(1-x)^2
re : couple de variables aléatoires#msg1914460 Posté le 15-06-08 à 23:15
Posté par Profilrobby3 robby3

salut!
c'est \large ax\Bigint_{x-1}^{1-x} |y|.dy ??
re : couple de variables aléatoires#msg1914469 Posté le 15-06-08 à 23:25
Posté par Profilrobby3 robby3

sinon pour les x négatifs c'est correct??
et mon post de 20h43 le 13/06/08??
re : couple de variables aléatoires#msg1914475 Posté le 15-06-08 à 23:47
Posté par Profillafol lafol Correcteur

je suis d'accord avec 13/06 à 20h
re : couple de variables aléatoires#msg1914617 Posté le 16-06-08 à 11:35
Posté par Profilrobby3 robby3

ok d'accord!

par contre j'ai toujours pas compris l'histoire de la valeur absolue de y pour les x positifs...??
par rapport à mon message du 13/06/08 à 12:36...pour les x positifs, mise à part un 2 fantaisiste, on était d'accord non?

re : couple de variables aléatoires#msg1914621 Posté le 16-06-08 à 11:48
Posté par Profillafol lafol Correcteur

non, il manquait la valeur absolue de y, qui oblige à couper l'intégrale en 2, ou à utiliser la parité de |y|
re : couple de variables aléatoires#msg1914639 Posté le 16-06-08 à 12:01
Posté par Profilrobby3 robby3

ok,je trouve bien la meme chose que toi pour les x positifs..
donc si je récapitule un peu:

pour x positifs:
>\large f_X(x)=ax(x-1)^2 \\
pour les x négatifs:
>\large f_X(x)=-ax(x+1)^2

ensuite est-ce qu'on peut dire que par symétrie des roles joués par x et y on a la meme chose pour \large f_Y(y) ??

si oui,
on est amener à calculer l'espérance:
ce que j'essaye de faire le 14/06/2008 à 11:03...pour les x négatifs...sans trop de succés...
peux-tu me guider s'il te plait?
re : couple de variables aléatoires#msg1914641 Posté le 16-06-08 à 12:03
Posté par Profillafol lafol Correcteur

pour l'espérance, tu as besoin de tous les x ! les bornes de l'intégrale sont -1 et 1, et il faudra la couper en deux pour faire intervenir les deux expressions selon que x est positif (de 0 à 1) ou négatif (de-1 à 0)
re : couple de variables aléatoires#msg1914642 Posté le 16-06-08 à 12:04
Posté par Profillafol lafol Correcteur

pour les y, oui, c'est formellement le même calcul
re : couple de variables aléatoires#msg1914645 Posté le 16-06-08 à 12:21
Posté par Profilrobby3 robby3

ok,je fais ça:
\large E[X]=-\Bigint_{-1}^0 ax(x+1)^2 dx+\Bigint_0^1 ax(x-1)^2 dx=-a\Bigint_{-1}^0 x^3+2x^2+x dx+a\Bigint_0^1 x^3-2x^2+x dx \\ =\frac{a}{6}

\large E[X^2]=-\Bigint_{-1}^0 ax^2(x+1)^2 dx+a\Bigint_0^1 x^2(x-1)^2 dx=0
donc \large V[X]=E[X^2]-E[X]^2=-\frac{a}{6}(ça me parait faux,vu que a>0 et que la variance doit etre un nombre positif non?)
re : couple de variables aléatoires#msg1914646 Posté le 16-06-08 à 12:21
Posté par Profilrobby3 robby3

lire \large V[X]=-\frac{a^2}{36}
re : couple de variables aléatoires#msg1914724 Posté le 16-06-08 à 14:17
Posté par Profillafol lafol Correcteur

aïe aïe aïe

une espérance de X², qui est quand même assez fortement positif, égale à 0..... ça voudrait dire que X ne décolle pas de 0, non ?
re : couple de variables aléatoires#msg1914892 Posté le 16-06-08 à 16:52
Posté par Profilrobby3 robby3

c'est trés mauvais en tout cas et Maple me le confirme que ça fait 0...donc doit y avoir un soucis quelque part!
re : couple de variables aléatoires#msg1914993 Posté le 16-06-08 à 18:21
Posté par Profilrobby3 robby3

Re,
en fait, dans l'énoncé y'avait une remarque!!

\large \Bigint_0^1 x^p(1-x)^q dx=\frac{p!q!}{(p+q+1)} \\
donc
\large E[X^2]=-\frac{a}{30}+\frac{a}{30}=0!!
re : couple de variables aléatoires#msg1915069 Posté le 16-06-08 à 19:07
Posté par Profilrobby3 robby3

puré!!
j'arrive pas à voir ou ça coince dans ce calcul de variance!!
re : couple de variables aléatoires#msg1915247 Posté le 16-06-08 à 21:31
Posté par Profillafol lafol Correcteur

j'ai un peu l'impression que ton calcul de E(X) est en fait la vérif que f_X est bien une loi de proba (on retrouve 1 pour a = 6) et que ton calcul de E(X²) est en fait celui de E(X) : tu prouves que ta variable X est centrée, ce qui n'est qu'à moitié étonnant.
reste à calculer vraiment E(X²)
re : couple de variables aléatoires#msg1915260 Posté le 16-06-08 à 21:37
Posté par Profilrobby3 robby3

ah mais oui!!!
Quel troufion!!!
je refais les calculs...
re : couple de variables aléatoires#msg1915267 Posté le 16-06-08 à 21:50
Posté par Profilrobby3 robby3

\large E[X^2]=-a\Bigint_{-1}^0 x^3(x+1)^2 dx+ a\Bigint_0^1 x^3(x-1)^2 dx=\frac{a}{30}
donc
\large V[X]=\frac{a}{30}

ok?
re : couple de variables aléatoires#msg1915268 Posté le 16-06-08 à 21:54
Posté par Profillafol lafol Correcteur

ouf !
re : couple de variables aléatoires#msg1915271 Posté le 16-06-08 à 22:02
Posté par Profilrobby3 robby3


comme tu dit!!

pour la derniere question,la covariance c'est \large E[XY] car \large E[X]=E[Y]=0
et faut donc calculer E[XY]...
est-ce que \large E[XY]=\Bigint_{D} ax^2y^2 dx dy?

de toute façon le but c'est de dire que \large Cov(X,Y)=0 alors que \large X et \large Y ne sont pas indépendantes!
re : couple de variables aléatoires#msg1915272 Posté le 16-06-08 à 22:06
Posté par Profillafol lafol Correcteur

fais attention à ces fichues valeurs absolues
re : couple de variables aléatoires#msg1915279 Posté le 16-06-08 à 22:16
Posté par Profilrobby3 robby3

\large E[XY]=\Bigint_D a(x.|x|)(y.|y|) dxdy
bon faut refaire encore les distinctions...faire attention aux bornes de l'inétgrale...
re : couple de variables aléatoires#msg1915283 Posté le 16-06-08 à 22:24
Posté par Profilrobby3 robby3

et mon ami Maple me dit bien que ça fait 0...d'ou ma conclusion de 22:02!
Merci beaucoup à toi Lafol...j'ai été laborieux avec mes integrales et les valeurs absolues!
Merci de ta patience!

Merci aussi à Stokastik!
re : couple de variables aléatoires#msg1915299 Posté le 16-06-08 à 23:02
Posté par Profillafol lafol Correcteur

pas de souci, robby, reviens quand tu veux
re : couple de variables aléatoires#msg1923680 Posté le 25-06-08 à 18:18
Posté par Profilrobby3 robby3

j'essaye de refaire l'exercice avec
\large f_{(X,Y)}(x,y)=a.|x|.y^2.1_{D}
ou
\rm \large D=\{(x,y)\in R^2, 0\le y\le 1 et |x|\le 1-y\}



le dessin correspondant à D,c'est la partie superieur du domaine de l'exercice précédent.
Donc je trouve a=3 pour que f_{(X,Y)}(x,y) soit une densité de probabilité.

on a \large f_X(x)=\Bigint_0^1 a.|x|.y^2 dy=a.|x|\Bigint_0^1 y^2 dy
donc pour x>0:

f_X(x)=x

et pour x<0
f_X(x)=-x

de meme:

\large f_Y(y)=3y^2\Bigint_D |x|dx=3y^2.\Bigint_{1+y}^{1-y} x.dx=6y^3

ensuite \large E[X]=\bigint_0^1 x.dx-\bigint_0^1 x.dx=0
est-ce correct jusqu'à maintenant?
re : couple de variables aléatoires#msg1923689 Posté le 25-06-08 à 18:34
Posté par Profilrobby3 robby3

je ne suis pas certain des bornes pour l'espérance
re : couple de variables aléatoires#msg1923734 Posté le 25-06-08 à 19:23
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

T'es sûr que c'est pas \Large{a=30} ?
re : couple de variables aléatoires#msg1923736 Posté le 25-06-08 à 19:24
Posté par Profilrobby3 robby3

30!!!
je me suis dis que c'était la moitié du dessin précédent donc je suis quasi sur que c'est 3.
re : couple de variables aléatoires#msg1923746 Posté le 25-06-08 à 19:30
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Il faut que \Large{\Bigint_{\mathbb{R}^2}f_{(X,Y)}(x,y)dxdy=1 ?


J'obtiens que \Large{\Bigint_{\mathbb{R}^2}f_{(X,Y)}(x,y)dxdy=a\Bigint_{\mathcal{D}}|x|y^2dxdy.


Or \Large{\Bigint_{\mathcal{D}}|x|y^2dxdy=2\Bigint_{0}^1x(\Bigint_{0}^{1-x}y^2dy)dx=\frac{-2}{3}\Bigint_{0}^1x(x-1)^3dx=\frac{-2}{3}\frac{-1}{20}=\frac{1}{30}


??
re : couple de variables aléatoires#msg1923756 Posté le 25-06-08 à 19:42
Posté par Profilrobby3 robby3

ah oué!
t'as fait la suite avec a=30??
re : couple de variables aléatoires#msg1923770 Posté le 25-06-08 à 19:54
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Attend je m'y met!!
re : couple de variables aléatoires#msg1923772 Posté le 25-06-08 à 19:57
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Je trouve que :



\Large{f_X(x)=\frac{a}{3}|x|
re : couple de variables aléatoires#msg1923779 Posté le 25-06-08 à 20:02
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Ensuite :


\Large{f_Y(y)=ay^2(y^2+1)
re : couple de variables aléatoires#msg1923781 Posté le 25-06-08 à 20:03
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Donc clairement c'est pas indépendant!
re : couple de variables aléatoires#msg1923786 Posté le 25-06-08 à 20:09
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Je trouve que \Large{\mathbb{E}[X]=\frac{a}{6} et \Large{\mathbb{V}(X)=\frac{36a-a^2}{36}
re : couple de variables aléatoires#msg1923807 Posté le 25-06-08 à 20:30
Posté par Profilrobby3 robby3

peux-tu me montrer ton calcul de F_Y(y) s'il te plait

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