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couple de variables aléatoires

   
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#msg1644034 Posté le 09-02-08 à 23:43
Posté par Profilrobby3 robby3

Bonsoir tout le monde,je vous soumet un exo qui me pose beaucoup de difficulté...

Soit (X,Y) un couple de variable aléatoires réelles de densité de probabilité
f_{X,Y}(x,y)=a.|x||y|.1_{\{(x,y)\in D\}

ou a>0
et \rm D=\{(x,y)\in R^2/ |y|\le 1 et |x|+|y|\le 1 \}

1)trouver a afin que (X,Y) suive une loi de proba
2)les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes?
3)Déterminer les lois marginales,les espérances et variances de X et Y
4)Calculer la covariance entre X et Y puis conclure.


j'arrive meme pas à faire la 1)
pour le reste j'ai quelques idées mais bon...


ps: j'ai de bonnes raisons de croire que c'est le genre d'exercice typique qui va tomber au ds,donc j'aimerais bien le comprendre

MERCI d'avance de vos explications
re : couple de variables aléatoires#msg1644042 Posté le 10-02-08 à 00:01
Posté par Profilrobby3 robby3

(je vais dormir,je reviens demain dans la soirée)
re : couple de variables aléatoires#msg1644497 Posté le 10-02-08 à 12:28
Posté par Profilrobby3 robby3

re,
pour la 1) je sais qu'il faut que:
\rm \\ \Bigint_D a.|x||y|.1_{(x,y)\in D}dx.dy=1

c'est en fait ceci que j'arrvie pas à faire,la suite,je pense pouvoir m'en sortir...
re : couple de variables aléatoires#msg1644650 Posté le 10-02-08 à 13:25
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

Salut robby

C'est une petite intégrale double à calculer.
L'intégrale se fait sur un carré. Utilise les symétries du domaine D et la parité de la fonction intégrée pour te ramener à l'intégrale sur un domaine plus petit.
Autre chose : dans la définition du domaine D, je crois que le "|y| inférieur à 1" est en trop : l'autre inégalité implique celle-ci (dans ton premier message, tu pourrais revérifier la définition de D , s'il te plaît?)

Kaiser
re : couple de variables aléatoires#msg1646447 Posté le 10-02-08 à 20:59
Posté par Profilrobby3 robby3

Salut Kaiser,
je t'assure que D est bien comme je l'ai défini dans mon 1er message.

est ce que j'ai une double intégrale sur [0,1]?
re : couple de variables aléatoires#msg1646572 Posté le 10-02-08 à 21:48
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

la fonction à intégrer est "paire par rapport à chacune de ses variables" et D est symétrique par rapport aux deux axes de coordonnées donc ton intégrale sur D est égale à 4 fois l'intégrale de la même fonction sur un quart du carré (mettons, celui qui se trouve dans le domaine des x et y positifs).
Ensuite, tu intègres : x varie entre 0 et 1 et y, entre 0 et 1-x.

Kaiser
re : couple de variables aléatoires#msg1646737 Posté le 10-02-08 à 22:39
Posté par Profilrobby3 robby3

\rm \large \\ 4.\Bigint_0^1 \Bigint_{0}^{1-x} a.|x|.|y| dx.dy=4a.\Bigint_0^1 x (\Bigint_0^{1-x} y dy) dx

je finis par trouver a=6.
re : couple de variables aléatoires#msg1646765 Posté le 10-02-08 à 22:50
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

Je trouve la même chose que toi.

Kaiser
re : couple de variables aléatoires#msg1646771 Posté le 10-02-08 à 22:53
Posté par Profilrobby3 robby3

si j'ai bien compris ce que tu as dit Kaiser,on a:

\rm \large \Bigint_D a.|x|.|y| dx.dy= \\ 4.\Bigint_0^1 \Bigint_0^{1-x} a.x.y dx.dy= \\ 4a.\Bigint_0^1 x (\Bigint_0^{1-x} y dy) dx=4a.\Bigint_0^1 x \frac{(1-x)^2}{2} dx=2a.\Bigint_0^1 (x^3-2x^2+x) dx=\frac{a}{6}

sauf erreur de calcul.
re : couple de variables aléatoires#msg1646774 Posté le 10-02-08 à 22:55
Posté par Profilrobby3 robby3

ahh pardon Kaiser,j'avais pas vu!
pour montrer qu'elles sont indépendantes,faut que je montre que la densité de (X,Y) est égale au produit des lois marginales de X et de Y.
c'est bien ça?
re : couple de variables aléatoires#msg1646783 Posté le 10-02-08 à 22:59
Posté par Profilrobby3 robby3

je fais ceci:
\rm \large f_X(x)=\Bigint_D 6.|x|.|y| dy
ais-je le droit de me restreindre comme précédemment?
je pense que non mais ça m'arrangerait bien parce là sinon je vois pas trop comment faire.
re : couple de variables aléatoires#msg1646784 Posté le 10-02-08 à 22:59
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

J'ai l'impression qu'elles ne le sont pas justement. De plus, tu ne peux pas parler des lois marginales maintenant : on t'en parle qu'à la question 3.

Essaie plutôt de montrer qu'elles ne sont pas indépendantes en exhibant un contre-exemple.

Kaiser
re : couple de variables aléatoires#msg1646788 Posté le 10-02-08 à 23:00
Posté par Profilrobby3 robby3

ahh mince!!
un contre-exemple...
en choisissant des valeurs de X et de Y ??
ou bien des densités de X et de Y ??
re : couple de variables aléatoires#msg1646811 Posté le 10-02-08 à 23:08
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

Citation :
ahh mince!!
un contre-exemple...
en choisissant des valeurs de X et de Y ??
ou bien des densités de X et de Y ??


Plutôt en choisissant des valeurs a et b telles qu'on ait :

\Large{\mathbb{P}(X\leq a,Y\leq b)\neq \mathbb{P}(X\leq a)\mathbb{P}(Y\leq b)}

Kaiser
re : couple de variables aléatoires#msg1646834 Posté le 10-02-08 à 23:15
Posté par Profilrobby3 robby3

ce sont des densités ça Kaiser non?

je sais pas si j'ai saisi,j'essaye un truc:

je prend

\rm f_X(x)=|x| si x\in D \\ =0 sinon \\ \\ f_Y(y) de meme. \\ Alors: f_X(x).f_Y(y)=|x|.|y| si x et y\in D alors que f_{(X,Y)}(x,y)=6|x|.|y|

est-ce que ça marche ça??
re : couple de variables aléatoires#msg1646841 Posté le 10-02-08 à 23:18
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

non, ça ne marche pas : le domaine D "dépend" de x et y (dire "x appartient à D" n'a pas de sens : D est un ensemble de couples, pas de réels).

Kaiser
re : couple de variables aléatoires#msg1646852 Posté le 10-02-08 à 23:23
Posté par Profilrobby3 robby3

humm ok.
faut trouver a et b tel que f_{(X,Y)}(a,b)\neq f_X(a).f_Y(b)??
re : couple de variables aléatoires#msg1646855 Posté le 10-02-08 à 23:25
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

non, pas les densités : regarde plutôt ce que j'ai écrit à 23h08.

Kaiser
re : couple de variables aléatoires#msg1646864 Posté le 10-02-08 à 23:29
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

En fait, intuitivement, X et Y ne sont pas indépendantes car l'ensemble sur lequel leur densité jointe n'est pas nulle n'est pas un pavé : X et Y ne peuvent pas varier librement à cause de la condition \Large{|X|+|Y|\leq 1} p.s.

Kaiser
re : couple de variables aléatoires#msg1646870 Posté le 10-02-08 à 23:32
Posté par Profilrobby3 robby3

ces ont des fonctions de répartitions!


sachant que P(X\le a)=F_X(a)

et que F_X(a)'=f_X(a)

il faut que je trouve a(et b) pour qu'on est le truc de ton post de 23:08??
re : couple de variables aléatoires#msg1646876 Posté le 10-02-08 à 23:34
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

oui
re : couple de variables aléatoires#msg1646881 Posté le 10-02-08 à 23:37
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

En même temps, je te donne deux conseils pour trouver a et b :

1) ne vas chercher midi à quatorze heures
2) essaie de faire le moins de calcul possible.

Kaiser
re : couple de variables aléatoires#msg1646884 Posté le 10-02-08 à 23:39
Posté par Profilrobby3 robby3

Bon j'arrive pas,je rééssaiyeré demain!
Merci bien de m'avoir débloquer déjà!!
re : couple de variables aléatoires#msg1646887 Posté le 10-02-08 à 23:40
Posté par Profilrobby3 robby3

j'avais pas vu 23:37...

il doit y avoir du 0 et du 1 par là sans doute mais bon je vois pas du tout alors je prefere remettre ça à demain plutot que de m'énervé dessus
c'est pas bon de s'énerver avant d'aller au lit
re : couple de variables aléatoires#msg1646890 Posté le 10-02-08 à 23:42
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

Bon, OK, comme tu veux !
Bonne nuit !

Kaiser
re : couple de variables aléatoires#msg1646892 Posté le 10-02-08 à 23:43
Posté par Profilrobby3 robby3

Bonne nuit!!
A demain si tu as un ti peu de temps!
re : couple de variables aléatoires#msg1911704 Posté le 12-06-08 à 15:06
Posté par Profilrobby3 robby3


please...
re : couple de variables aléatoires#msg1911734 Posté le 12-06-08 à 15:27
Posté par Profilrobby3 robby3

peut-on m'expliquer le message de Kaiser du 10/02/08 à 23:29 s'il vous plait.

sinon une idée pour les valeurs de a et b dont Kaiser parle le 10/02/2008 à 23:08??
re : couple de variables aléatoires#msg1912148 Posté le 12-06-08 à 21:38
Posté par Profilstokastik stokastik

Citation :
peut-on m'expliquer le message de Kaiser du 10/02/08 à 23:29 s'il vous plait.


Si X prend ses valeurs dans [a,b] et Y dans [c,d] et si X et Y sont indépendantes, alors le couple (X,Y) prend ses valeurs dans tout le "pavé" [a,b]\times[c,d].
re : couple de variables aléatoires#msg1912163 Posté le 12-06-08 à 21:49
Posté par Profilrobby3 robby3

D'accord Stokastik.

sinon si tu as un peu de temps, j'ai pas compris l'histoire de choisir a et b...
re : couple de variables aléatoires#msg1912169 Posté le 12-06-08 à 21:54
Posté par Profilrobby3 robby3

parce qu'en fait si je reprend on est en à la question 2)
et Kaiser a vu que les variables aléatoires X et Y ne sont pas indépendnates donc faut que je le montre en choisissant a et b tel que \large P(X\le a,Y\le b)\neq P(X\le a)P(X\le b)
re : couple de variables aléatoires#msg1912180 Posté le 12-06-08 à 21:58
Posté par Profilstokastik stokastik

Ben tu prends à peu près n'importe quoi, par exemple a=1/2 et b=1/2, tu montres que \mathbb{P}(X\leq a,Y\leq b)\neq \mathbb{P}(X\leq a)\mathbb{P}(Y\leq b)} en calculant les 2 membres, mais tu as bseoin de la question 3 pour calculer le membre de droite.

Mais bof, ce que je disais dans mon post précédent suffit à démontrer rigoreusement qu'il n'y a pas indépendance (ce n'est pas seulement "intuitif" comme disait kaiser, car la densité d'un couple de v.a. indépendantes est le produit des densités marginales)
re : couple de variables aléatoires#msg1912186 Posté le 12-06-08 à 22:04
Posté par Profilrobby3 robby3

Citation :
la densité d'un couple de v.a. indépendantes est le produit des densités marginales

>oui!

Citation :
ce que je disais dans mon post précédent suffit à démontrer rigoreusement qu'il n'y a pas indépendance

Citation :
Si X prend ses valeurs dans [a,b] et Y dans [c,d] et si X et Y sont indépendantes, alors le couple (X,Y) prend ses valeurs dans tout le "pavé"[a,b] X [c,d]

>comment cela suffit-il ??
re : couple de variables aléatoires#msg1912244 Posté le 13-06-08 à 07:20
Posté par Profilstokastik stokastik

Tu vois bien que D n'est pas un pavé (faire un dessin...)
re : couple de variables aléatoires#msg1912335 Posté le 13-06-08 à 11:15
Posté par Profilrobby3 robby3

Citation :
Tu vois bien que D n'est pas un pavé (faire un dessin...)

>pour moi D est un carré...un carré c'est pas un pavé??

re : couple de variables aléatoires#msg1912337 Posté le 13-06-08 à 11:17
Posté par Profillafol lafol Correcteur

Bonjour
j'espère ne pas dire n'importe quoi, mais il me semble que par exemple P(X < -0.75, Y < -0.75) est nulle (domaine complètement extérieur à D), alors que P(X<-0.75) et P(Y<-0.75) ne le sont pas (pas besoin de les calculer pour voir qu'elles sont non nulles, on intègre une fonction positive)
re : couple de variables aléatoires#msg1912347 Posté le 13-06-08 à 11:23
Posté par Profilrobby3 robby3

Bonjour lafol...
tu me montres que pour a=-0.75 et b=-0.75 P(X\le a;Y\le b)\neq P(X\le a).P(Y\le b) ?? \\
re : couple de variables aléatoires#msg1912350 Posté le 13-06-08 à 11:28
Posté par Profillafol lafol Correcteur

il me semble, mais si les pro pouvaient confirmer....
re : couple de variables aléatoires#msg1912351 Posté le 13-06-08 à 11:29
Posté par Profillafol lafol Correcteur

entre pavé et carré, il y a une question d'orientation : le pavé auquel stokastik fait allusio a ses côtés parallèles aux axes, alors que D est "posé sur une pointe"
re : couple de variables aléatoires#msg1912352 Posté le 13-06-08 à 11:29
Posté par Profilrobby3 robby3

ok,merci...
et sinon pourquoi D n'est pas un pavé?
re : couple de variables aléatoires#msg1912353 Posté le 13-06-08 à 11:32
Posté par Profilrobby3 robby3

Mais je crois que j'ai mal fait mon dessin alors...
D c'est bien un carré ou les mileiux de ses cotés se coupent en O non?
re : couple de variables aléatoires#msg1912357 Posté le 13-06-08 à 11:37
Posté par Profillafol lafol Correcteur

Sépare le plan en 4 quadrants
dans le premier (en haut à droite), x et y positifs, donc on a y < 1-x : on reste sous la droite d'équation y = 1-x, oblique passant par les points A(1,0) et B(0,1)
dans le deuxième (en haut à gauche), x négatif et y positif, donc on y < 1+x : on reste sous la droite d'équation y = 1+x, oblique passant par B et C(-1, 0)
etc.
au final D est le carré ABCd avec d(0,-1)
re : couple de variables aléatoires#msg1912367 Posté le 13-06-08 à 11:44
Posté par Profilrobby3 robby3

ahh d'accord...oui,je vois mieux là!!

Citation :
D est "posé sur une pointe"

>??
parce que mon carré est "penché" c'est pas un pavé?
c'est quoi la définition de pavé??
je trouve pas sur wikipédia!
re : couple de variables aléatoires#msg1912370 Posté le 13-06-08 à 11:47
Posté par Profillafol lafol Correcteur

stokastik l'a bien mis entre guillemets
c'est une intersection entre une bande horizontale (y compris entre c et d) et une bande verticale (x compris antre a et b)
re : couple de variables aléatoires#msg1912374 Posté le 13-06-08 à 11:48
Posté par Profilstokastik stokastik

Citation :
Bonjour
j'espère ne pas dire n'importe quoi, mais il me semble que par exemple P(X < -0.75, Y < -0.75) est nulle (domaine complètement extérieur à D), alors que P(X<-0.75) et P(Y<-0.75) ne le sont pas (pas besoin de les calculer pour voir qu'elles sont non nulles, on intègre une fonction positive)


Oui j'avais pensé à chercher un truc du genre mais j'avais (et j'ai encore) la flemme de réfléchir à la tête de D.
re : couple de variables aléatoires#msg1912378 Posté le 13-06-08 à 11:50
Posté par Profilrobby3 robby3

D'accord Lafol!

donc je peux réfléchir à la question 3)??
re : couple de variables aléatoires#msg1912380 Posté le 13-06-08 à 11:50
Posté par Profilstokastik stokastik

Citation :
stokastik l'a bien mis entre guillemets


Pas besoin de guillemets, on dit bien pavé en maths et c'est formellement défini comme le produit de deux intervalles (je crois)
re : couple de variables aléatoires#msg1912392 Posté le 13-06-08 à 11:57
Posté par Profillafol lafol Correcteur

stokastik : D est la boule unité pour la norme 1, on peut considérer ça comme une figure "classique", non ?
re : couple de variables aléatoires#msg1912396 Posté le 13-06-08 à 11:59
Posté par Profilrobby3 robby3

voilà ce que j'ai:

\large f_X(x)=\Bigint a.|x|.|y| 1_{(x,y)}(x,y)dy=a.|x|\Bigint_D |y| dy=a.|x|\Bigint_{\{|y|\le 1-|x|\}}|y|dy

il faut que je calcule 4 integrales??
selon les positions de x et de y...
re : couple de variables aléatoires#msg1912408 Posté le 13-06-08 à 12:08
Posté par Profillafol lafol Correcteur

tu peux utiliser des symétries

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