Forum des énigmes mathématiques :
DEFI 202 : A vos patates !

Bonjour,

Lors d'une compétition mathématique, trois problèmes ont été proposés. Après la correction, on remarque les faits suivants :

25 participants ont résolu au moins un des trois problèmes.

Parmi ceux n'ayant pas résolu le problème A, ceux ayant résolu le problème B sont deux fois plus nombreux que ceux ayant résolu le problème C.

La différence entre le nombre de participants ayant résolu uniquement le problème A et le nombre de participants ayant résolu le problème A et au moins un des deux autres est 1.

Le nombre de participants ayant résolu uniquement le problème A est égal à la somme du nombre de participants ayant résolu uniquement le problème B et du nombre de participants ayant résolu uniquement le problème C.




Combien de participants ont résolu uniquement le problème B ?  

Bonne réflexion.

minkus

bonjour,
Dommage que le titre donne direct la méthode a utilisé mais bon: je trouve 6
en posant x uniquement C, et a B inter C inter . On arrive a 9x+4a-1=26 d'ou x=a=2.

Bonjour,

Nombre de participants ayant résolu :

B et C :              N1
C seulement :    N2
B seulement :    N3
A seulement :    N4
A et (B ou C) :   N5
Total :               25

L'incice 1 donne   N3 + N1 = 2(N2 + N1)
L'indice 2 donne   N4 = N5 + 1
L'indice 3 donne   N4 = N2 + N3

La seule possiblilité donnant un total de 25 participants est la suivante :
N1 = 2
N2 = 2
N3 = 6
N4 = 8
N5 = 7

6 participants ont donc résolu uniquement le problème B.

(J'ai bien peur de m'être trompé mais je tente ...)
On obtient les égalités suivantes :
NBC=NB-2NC
NA=NB+NC
4NB+NC=26

La dernière nous donne plusieurs couples pour NB et NC.
Par valeur de NB décroissantes :
sol. 1 :
NB=6 et NC =2 ce qui donne NBC=2 et NA=8
sol. 2 :
NB=5 et NC=6 ce qui donne NBC<0
pour les valeurs inférieures de NB, NBC est <0, donc seul NB=6 convient.
6 participants ont résolu le problème B uniquement.

Salut minkus
Il y a donc 25 participants; les groupes sont codes A, B, C, AB, AC, BC, ABC (selon les problemes resolus)
Donnees: A = B + C
A = AB + AC + ABC + X  (avec X = 1)
B + BC = 2 ( C + BC )   (donne B = 2C + BC  et BC = B-2C)
A + B + C + AB + AC + BC + ABC =  25

D'ou:
B + C + B + C + AB + AC + BC + ABC = 25
2B + (2C + BC) + AB + AC + ABC = 25
3B + (AB + AC + ABC) = 25

3B + A - X = 25
4B + C - X = 25
C = 25 - 4B + X

Si X=-1
Si B=1 alors A=21 et C=20 donc BC < 0 , cas impossible
Si B=2 alors A=18 et C=16 donc BC < 0 , cas impossible
Si B=3 alors A=15 et C=12 donc BC < 0 , cas impossible
Si B=4 alors A=12 et C=8 donc BC < 0 , cas impossible
Si B=5 alors A=9 et C=4 donc BC < 0 , cas impossible
Si B=6 alors A=6 et C=0 donc BC = 6 , AB+AC+ABC = 7 donc 25 participants , cas possible mais peu probable car C=0
Si B=7 alors C<0 , cas impossible

Si X=1
Si B=1 alors A=23 et C=22 donc BC < 0 , cas impossible
Si B=2 alors A=20 et C=18 donc BC < 0 , cas impossible
Si B=3 alors A=17 et C=14 donc BC < 0 , cas impossible
Si B=4 alors A=14 et C=10 donc BC < 0 , cas impossible
Si B=5 alors A=11 et C=6 donc BC < 0 , cas impossible
Si B=6 alors A=8 et C=2 donc BC = 2 , AB+AC+ABC = 7 donc 25 participants, cas possible
Si B=7 alors C<0 , cas impossible

Pourvu qu'Ordralfabetix ne passe pas par ici...
En tout cas ma reponse est: 6 participants ont résolu uniquement le problème B

le nombre de participants qui ont résolu uniquement le problème B est: 4

bonjour
six participants ont réussi uniquement le problème B

soient a les réussites à A seulement, b à B seulement, c à C seulement, d les réussites à A plus au moins un autre problème, f les réussites à B et C, mais pas à A
on a : b+f = 2c+2f; b-f = 2c; b+c-f = 3c
si a est 9 ou plus, on compte plus de 25 participants
si a est 5 ou moins, il y a moins de 25 participants avec au moins une réussite, puisque f <= b <= c
les possibilités sont
a d b+c f 3c
8 9  8  0  8?
8 7  8  2  6, c = 2, b = 6
7 8  7  3  4?
7 6  7  5  2?
6 7  6  6  0, c = 0, b = 6
6 5  6  8 -2?

Merci Minkus de nourrir l'île des maths.
C'est bien une histoire de patates!
Je dessine 3 patates représentant les ensembles de participants ayant résolu les énigmes A,B,C. Ces patates me permettent de partitionner la réunion des trois ensembles en 7 sous-ensembles A1,B1,C1,C2,A2,B2,D.
Je note par la même lettre un sous-ensemble et le nombre de ses éléments.
C'est B1 qu'on me demande.
Je traduis les renseignements par des équations:
1)A1+B1+C1+A2+B2+C2+D=25
2)B1+A2=2(C1+A2)
3)A1-(B2+C2+D)=1
4)A1=B1+C1
Je m'aperçois qu'en ajoutant membre à membre 1) et 3), j'élimine d'un seul coup B2,C2 et D.
Il ne reste que 3 équations:
1)2A1+B1+C1+A2=26
2)B1+A2=2(C1+A2)
3)A1=B1+C1
J'élimine A1. Il reste deux équations:
1)2B1+2C1+B1+C1+A2=26 (ou: 3B1+3C1+A2=26)
2)B1+A2=2(C1+A2) (ou:2C1-B1+A2=0)
en éliminant A2:
4B1+C1=26
B1 devant être entier, je commence par essayer C1=2, donc B1=6, donc A1=8, donc A2=2 et B2+C2+D2=7 (donnant plusieurs possibilités pour B2,C2,D)
J'obtiens donc une solution valable.
Comme on ne me demande qu'une solution et que j'ai envie d'aller me coucher, j'en reste là!

Le nombre B1 de candidats ayant réussi uniquement l'exercice B est 6.

A bientôt!

Bonjour,

4 participants ont résolu uniquement le problème B.

Bonsoir

énigme impressionnante !!

je trouve 6 participants ayant résolue uniquement le problème B.
_{La solutions est unique sauf erreur}

merci pour l'énigme .

bonjour,
sauf erreur de ma part 6 participants ont résolu uniquement le problème B
merci et bonne journée

bonsoir
8 participants ont résolu uniquement le problème B.

Bonjour,

Six participants ont résolu uniquement le problème B.

Merci pour l'énigme.

Appelons (1), (2), (3) et 4 les 4 faits relevés qui constituent les contraintes du problème et utilisons des diagrammes de Wenn (des patates) pour représenter les populations des différents candidats
A représente le nombre de candidats ayant résolu uniquement le problème A
B représente le nombre de candidats ayant résolu uniquement le problème B
C représente le nombre de candidats ayant résolu uniquement le problème C
AB représente le nombre de candidats ayant résolu le problème A et le problème B
AC représente le nombre de candidats ayant résolu le problème A et le problème C
BC représente le nombre de candidats ayant résolu le problème B et le problème C
ABC  représente le nombre de candidats ayant résolu les 3 problèmes

D'après (1) A+B+C+AB+AC+BC+ABC=25
B+BC représente ceux qui ont résolu B sans résoudre A
C+BC représente ceux qui ont résolu B sans résoudre A
Donc d'après (2) B+BC=2(C+BC) d'où on obtient BC=B-C
D'après (3) AB+AC+ABC=A1
Et d'après (4) A=B+C

En sommant le tout on obtient A+A+A+BC=251
BC valant 0 au minimum et A au maximum on déduit que A peut prendre 6, 7 ou 8 comme valeur
La valeur 7 ne permet pas de conclure alors que 6 et 8 donnent les solutions jointes.

Dans les deux cas le nombre de candidats n'ayant résolu que le problème B est de 6

Bonjour minkus

Comme le montrent les patates ci-dessous, 6 participants ont résolu uniquement le problème B.



Quant au nombre de manières de compléter les patates, si l'on suppose qu'aucune intersection n'est vide, cela ressemble fort au problème des sacs de billes.
Je n'en dirai donc rien, car c'est interdit par la charte

Cordialement
Frenicle

6 ont résolu uniquement le problème B

Salut!

6 personnes ont résolu uniquement le problème B!

@+ et merci pour l'énigme!

Soit a le nombre de concurrents n'ayant résolu que A, b le nombre de ceux qui n'ont résolu que B, c le nombre de ceux n'ayant résolu que C et d le nombre de ceux ayant résolu B et C mais pas A.
On a alors a=b+c, b=2c+d et 2a-1+b+c+d=25, soit 9c+4d=26, qui n'a pour seule solution, en nombres positifs ou nuls, que c=d=2.
Donc le résultat demandé est b=6

Bon,(jour),

Après un raisonnement fait un peu vite, et surement faux, je tente quand même pour le fun

J'ai trouvé que le nombre de participants ayant résolu uniquement le A était de 78, uniquement le B, de 52, et uniquement le C, de 26.

Finalement, pour moi le nombre de participants ayant résolu uniquement le problème B est de 52.
_{Etant une amatrice de poisson, je l'attends avec impatience.}

Réponse : 6



A+
Torio

C{1;2;3;,,,,;n}{1,2,3,.....n}
C(i+2)If(i)+(f(i+1)
C(1)IC(n-1)+C(n)
C(2)IC(n)+C(1)
une peine.tation t.q
_i=1,n-2

Bonjour,

4 participants ont résolu uniquement le problème B .

Bonjour à tous,
8 participants ont résolu uniquement le problème B

Bonjour à tous !
Voici ma réponse :
ceux qui n'ont pas résolu A : 3x-n (n = participant(s) ayant résolu B et C)
ceux qui ont résolu seulement A : 3x-2n
ceux qui ont résolu A+qqch : 3x-2n-1

d'où 3x-n+3x-2n+3x-2n-1=25

on trouve (par exemple*) x=4 et n=2

et ceux qui ont résolu seulement B : 2x-n = 6   <- solution

*sinon on trouve un nombre de participant négatif ?!

Bonjour.

Voilà mes patates:

On a:

(1) t + u + v + w + x + y + z = 25
(2) u + z = 2 *(u + v)
(3) x - w - t - y = 1
(4) x = v + z

(3)-> y = x - w - t - 1
->(1)-> u + v + 2x + z = 26
->(4)-> u + 3v + 3z = 26 (5)
(2)-> u = z - 2v (6)
->(5)-> 4z + v = 26

Il y a 7 couple (z,v) dans IN qui vérifient cette condition.
Mais le seul qui vérifie la condition (6) est (6,2)

Il y a 6 participants qui ont résolu le problème B uniquement.


Merci pour cette énigme.

Bonjour,

Soit ABC le nombre d'élèves ayant résolu les problèmes A, B et C
Soit AB le nombre d'élèves ayant résolu les problèmes A et B
Et ainsi de suite.

Le problème devient
ABC + AB + AC + BC + A + B + C = 25
BC + B = 2 (BC + C)
A - 1 = ABC + AB + AC
A = B + C

La seule difficulté est de traduire convenablement la phrase

citation :
Parmi ceux n'ayant pas résolu le problème A, ceux ayant résolu le problème B sont deux fois plus nombreux que ceux ayant résolu le problème C.

J'ai considéré que ceux ayant résolu le problème B, c'est (BC + B) et ceux ayant résolu le problème C, c'est (BC + C)

En triturant un peu le système, il vient 4B+C=26 et B=BC+2C
La seule solution possible avec des entiers positifs est B=6, C=2, A=8, BC=2

6 participants ont donc résolu le problème B

Bonjour,

Le nombre de participants ayant résolu uniquement le problème B est 8.

Les lettres du graphique ci-dessous indiquent les quantités de participants dans chaque zone unicolore.
Par exemple, le nombre de participants ayany au moins résolu le problème A est : a+ab+abc+ca

25 participants ont résolu au moins un des trois problèmes.
a+b+c+ab+bc+ca+abc=25

Parmi ceux n'ayant pas résolu le problème A, ceux ayant résolu le problème B sont deux fois plus nombreux que ceux ayant résolu le problème C.
b+bc=2(c+bc)

La différence entre le nombre de participants ayant résolu uniquement le problème A et le nombre de participants ayant résolu le problème A et au moins un des deux autres est 1.
a-(ca+abc+ab)=1

Le nombre de participants ayant résolu uniquement le problème A est égal à la somme du nombre de participants ayant résolu uniquement le problème B et du nombre de participants ayant résolu uniquement le problème C.
a=b+c

Ce qui donne
4b+c=26
bc=9b-52

Or les quantités doivent être des entiers positifs (à la rigueur nuls)
Ce qui impose à c les valeurs 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26
Ce qui impose à b les valeurs 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0
Mais alors bc n'est positif que pour b=6, seule réponse possible. Est-elle suffisante ?
b=6, c=2, bc=2, a=8, ca+abc+ab=7

Bonjour,

si on  appelle :
a : le nombre de participants ayant résolu uniquement le problème A
b : le nombre de participants ayant résolu uniquement le problème B
c : le nombre de participants ayant résolu uniquement le problème C
(ab) : le nombre de participants ayant résolu les problème A et B
(ac) : le nombre de participants ayant résolu les problème A et C
(bc) : le nombre de participants ayant résolu les problème B et C
(abc) : le nombre de participants ayant résolu les problème A, B et C

alors :
(1)   -   25 = a+b+c+(ab)+(ac)+(bc)+(abc)
(2)   -   b+(bc) = 2[c+(bc)]                 soit   (bc) = b-2c
(3)   -   a-[(ab)+(ac)+(abc)] = 1         soit   (ab)+(ac)+(abc) = a-1
(4)   -   a = b+c

en remplaçant (2), (3) et (4) dans (1), on obtient :
c = 26-4b     et donc     (bc) = 9b-52
or c>=0   donc   4b<=26   donc   b<= 6
et (bc)>=0   donc   9b>=52   donc   b>=6

donc b=6

(et c=2, a=8, (bc)=2, (ab)+(ac)+(abc)=7)

6 participants ont résolu uniquement le problème B.

Bonjour,

(1) A + B + C + AB + AC + BC + ABC = 25
(2) B + BC = 2(C + BC) <=> B + BC = 2C + 2BC <=> B - BC = 2C
(3) A - (AB + AC + ABC) = 1
(4) A = B + C

D'où:

2B + 2C + AB + AC + BC + ABC = 25
2B + 2C + BC = 25 - AB - AC - ABC
2B + 2C + BC + A = 25 + 1
3B + 3C + BC = 25 + 1
3(B+C) = 26 - BC
3(B+C) + B = 26 + 2C
4B + C = 26

D'où B est inférieur ou égal à 6.
- si B = 1 on a C = 22 d'où A = 23 IMPOSSIBLE (car A + B + C > 25)
- si B = 2 on a C = 18 d'où A = 20 IMPOSSIBLE (car A + B + C > 25)
- si B = 3 on a C = 14 d'où A = 17 IMPOSSIBLE (car A + B + C > 25)
- si B = 4 on a C = 10 d'où A = 14 IMPOSSIBLE (car A + B + C > 25)
- si B = 5 on a C = 7 d'où A = 12 IMPOSSIBLE (car on aurait (AB + AC + ABC) = 11, donc on dépasserait les 25).
- si B = 6 on a C = 3 d'où A = 8 POSSIBLE (on aurait (AB + AC + ABC) = 7 or 6 + 3 + 8 + 7 = 24 soit un nombre inférieur à 25).

Bref, j'arrêtes les vérifications dès maitenant, pour l'instant ça marche, on va pas gâcher mon bonheur...

Donc, si j'en crois ma logique, on aurait 6 personnes qui ont répondu uniquement à l'énigme B.

Même si j'ai faux, merci pour l'énigme...

Salut

je pense qu'il y a 6 personnes qui n'ont résolu que le problème B

Soient:
{A}   -> n1,
{B}   -> n2,
{C}   -> n3,
{AB}  -> n4,
{AC}  -> n5,
{BC}  -> n6,
{ABC} -> n7.

On cherche n2.

L'énoncé nous dit :
(1) 25 = (n1 + n2 + n3 + n4 + n5 + n6 + n7)
(2) (n2 + n6) = 2.(n3 + n6)
(3) n1 - (n4 + n5 + n7) = 1
(4) n1 = (n2 + n3)

En réinjectant (4) dans (1), on obtient :
(1.1) 25 = 2.(n2 + n3) + (n4 + n5 + n6 + n7)

En réinjectant (3) dans (1.1) à partir de (4), on obtient :
(1.2) 26 = 3.(n2 + n3) + n6

On commence à y voir plus clair...
Réinjectons donc (2) dans (1.2). On obtient ainsi :
(1.3) 26 = 3.(n2 + n3) + n2 - 2.n3, soit 26 = 4 n2 + n3

Les ni étant des entiers naturels, il vient que n3 est pair et (26 - n3) divisible par 4, ce qui laisse comme possibilité pour le couple (n2,n3) :
(6,2)  -> n6 = 2
(5,6)  -> n6 < 0 : IMPOSSIBLE
(4,10) -> idem
(3,14) -> etc.
(2,18)
(1,22)

Il ne nous reste plus que 6 comme possibilité ^^

Soit
x: nbr de participant ayant réussi A uniquement
y:nbr de participant ayant réussi B uniquement-->recherché
z:nbr de participant ayant réussi C uniquement
a:nbr de participant ayant réussi A+B
b:nbr de participant ayant réussi A+C
c:nbr de participant ayant réussi A+B+C

1)x+y+z+a+b+c=25
2)y=2z
3)x=y+z-->3/2y
4)x-a=1-->a=x-1
5)x-b=1-->b=x-1
6)x-c=1-->c=x-1 (a=b=c apparement)
--->x+x+x-1+x-1+x-1=25-->5x=28 or x=3/2y d'où 5x=15/2y
--->y=56/15=3.7333333
chiffre décimal pour un nbr de participant...arrondissons et supposons 4

Il ya ""6 participants qui ont résolu uniquement le probleme B"".

P.S:  2 participants qui ont résolu uniquement le probleme C;
      8 participants qui ont résolu uniquement le probleme A;
      2 participants qui ont résolu uniquement le probleme B et C;
      6 participants qui ont résolu uniquement le probleme A et au moins un des 2 autres problemes;  

J'ai représenté le problème sous forme de patates.
L'ensemble A regroupe ceux qui ont résolu le premier problème,
B, le second et C le troisième.
On va donc nommer les problèmes respectivement A, B et C.

Les lettres en bleu sont le nombre d'éléments dans les différentes régions.
Par exemple :
- a : nombre de personnes ayant résolu uniquement le problème A
- d : nb de pers ayant résolu A et B, mais pas C
- g : nb pers ayant résolu les 36 problèmes
- a+d+g+f : nb pers ayant résolu le problème A

Ensuite, on traduit l'énoncé en équations utilisant ces variables :

25 participants ont résolu au moins un des trois problèmes.
a+b+c+d+e+f+g = 25

Parmi ceux n'ayant pas résolu le problème A, ceux ayant résolu le problème B sont deux fois plus nombreux que ceux ayant résolu le problème C.

b + e = 2.(c + e)

La différence entre le nombre de participants ayant résolu uniquement le problème A et le nombre de participants ayant résolu le problème A et au moins un des deux autres est 1.
a - (d + g + f) = 1

Le nombre de participants ayant résolu uniquement le problème A est égal à la somme du nombre de participants ayant résolu uniquement le problème B et du nombre de participants ayant résolu uniquement le problème C.
a = b + c


Pour simplifier, on pose x = d + g + f
On a alors :
  a = 3c + e
  b = 2c + e
  x = 25 - (a+b+c+e)
  x = a - 1

Il nous reste donc 2 variables à faire varier en essayant de respecter la 4ème équation : c et f.

En fixant une variable tout à tour, on obtient
c peut varier de 0 à 4.
e peut varier de 0 à 8.

Il n'y a donc que 9*5 = 45 couples à tester.
Pour le couple (c=2, e=2) on trouve b = 6
aucun autre couple en convient.

Il y a donc 6 participants qui ont résolu uniquement le problème B

bonjour,
il y a 8 personnes ayant reussi uniquement le probleme B

Bonsoir,

7 l'ont résolu

Bonjour,

Apres y avoir brevement reflechi, je dirai que la reponse est 4.

A = B + C
6 = 4 + 2

A <1> AB,AC,ABC
6     7
==>
25-(6+7)=12 candidats qui ont reussis B,C,BC

B = 2C
4 = 2*2

Ce n'est pas vraiment une demonstration mais plutot une tentative d'illustration des contraintes imposees
J'espere que ca ira.

Bye.

Salut,

citation :
- Mais capitaine nous ne sommes que 6 ! - Alors à l'assaut, six !

Saucisse-purée en l'occurence (à cause des patates)

Voilà. Je laisse maintenant la main à jamo pour qu'il ait le plaisir de donner son premier palmarès

minkus

Bonjour !
Pourquoi un poisson alors que ma réponse est juste ?

Moumbo>> pourquoi as tu donné une réponse completemnt stupide en faisant perdre du temps a Minkus ? (que je salue )

salut simon,
pas la peine non plus de perdre du temps à lui poser des questions...

Bonjour lo.
enfin, il poste uniquement pour dire n'importe c'est du charabia, donc bon, on peut lui dire.

sorry matovitch, j'ai dû lire de travers et ai mal interpreté la dernière ligne. La prochaine fois essaie de mettre ta réponse un peu plus en valeur

Bonjour!

citation :
La prochaine fois essaie de mettre ta réponse un peu plus en valeur

D'accord excuse-moi
Merci pour le smiley, qui est quand même plus joli !

oui simon, mais ce genre de personne ne vaut même pas la peine que l'on réagisse.
C'est ce qu'il veut.
Autant l'ignorer...

ah ouf, j'ai cru que tu trouvais que ce qu'il avait fait était bien
Sur ce bonne journée