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Devoir en Temps Libre!


premièreDevoir en Temps Libre!

#msg1654066#msg1654066 Posté le 14-02-08 à 01:31
Posté par koiskek (invité)

Et bien voila j'annonce mon problème!

j'ai étais malade durant la dernière semaine de cours, j'ai donc loupé les math alors qu'ils commençaient un tout nouveau chapitre, et me voila contrains de me coltiner un dm dont je ne comprend pas grand chose (malgré avoir relu mes cours etc..). Cela serait très sympa de votre part de m'indiquer non pas les solutions mais les méthodes . d'avance merci!

Résolution de triangles:

Dans tout le devoir on adopte les notations suivantes pour un triangle ABC non plat:
- AB=c AC=b BC=a ; on nomme S l'aire de ABC ; A' B' C' milieu des côtés, respectivement opposé à A, B et C ; Â est l'angle BÂC orienté positivement, pareil pour ^B et ^C.

Le théorème de la médiane:

1) montrer que dans le triangle ABC: b²+c²=2AA'²+1/2a².
2)Application: ABCD quadrilatère, I et J sont les milieux respectifs de [AC] et [BD].
   (a): A l'aide du théoréme de la mediane, appliqué judicieusement, montrer que:
       AB²+BC²+CD²+AD²=4IJ²+AC²+BD²
   (b): Euler affirmait que la somme des carrées des côtés d'un quadrilatère est supérieur ou égale à  somme des diagonales. Est-ce toujours vrai? peut on avoir égalité? dans quels situations?

(il y a d'autre choses après mais j'attends d'avoir vos réponses pour me débrouiller tout seul après..)
re: Devoir en Temps Libre!#msg1654090#msg1654090 Posté le 14-02-08 à 07:40
Posté par Profilhomere homere

bonjour,

La première question est la demonstration du théorème de la médiane.

(en vecteur ) AB2+AC2=(AA'+A'B)2+(AA'+A'C)2

AB2+AC2=AA'2+A'B2+2AA'.A'B+AA'2+A'C2+2AA'.A'C

AB2+AC2=2AA'+(BC/2)2+(BC/2)2+2AA'(A'B+A'C)

je crois que tu peux terminer sans moi
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re: Devoir en Temps Libre!#msg1654093#msg1654093 Posté le 14-02-08 à 07:55
Posté par Profilhomere homere

Pour la question suivante

tu peux regrouper:  d'abord ( par exemple) AB2+AD2  et ensuite CB2+CD2   et chaque fois tu appliques le théorème de la médiane

Et dans ton résultat, tu devras encore appliquer ce même théorème.


Pour b/ tu as dû faire une erreur dans le texte : c'est "la somme des carrés des diagonales".

D'après la démontration précédente ,la somme des carrés des côtés est supérieur à la somme des carrés des diagonales puisque il y a en plus le terme 4IJ2
Il ne peut y avoir l'égalité que si IJ=0.
A toi de conclure.
re: Devoir en Temps Libre!#msg1654095#msg1654095 Posté le 14-02-08 à 07:59
Posté par Profilhomere homere


D'une manière générale la notation AB2 représente aussi bien le carré scalaire d'un vecteur  que le carré de sa norme (ou de sa longueur)
re : Devoir en Temps Libre!#msg1659067#msg1659067 Posté le 16-02-08 à 20:35
Posté par koiskek (invité)

merci beaucoup homere je teste tout cela immédiatement !
re : Devoir en Temps Libre!#msg1659354#msg1659354 Posté le 16-02-08 à 23:37
Posté par koiskek (invité)

n'aurais tu pas oublié un carré par hasard?


AB2+AC2=AA'2+A'B2+2AA'.A'B+AA'2+A'C2+2AA'.A'C

AB2+AC2=2AA'(ici?)+(BC/2)2+(BC/2)2+2AA'(A'B+A'C)
re : Devoir en Temps Libre#msg1659386#msg1659386 Posté le 17-02-08 à 00:05
Posté par Profilhomere homere

bonsoir,

Tu as raison. Dans le feu de l'action il y a des termes qui m'échappent...

J'espère que tu as fait l'autre question ?
re : Devoir en Temps Libre!#msg1661088#msg1661088 Posté le 17-02-08 à 21:20
Posté par koiskek (invité)

eh bien malheureusement je ne retombe pas sur la bonne égalité.
je m'explique:
à la fin je retombe sur:   b²+c²=2AA'²+a²   (Au lien de: b²+c²=2AA'²+(1/2a)²)
merci d'avance!!
re : Devoir en Temps Libre#msg1661272#msg1661272 Posté le 17-02-08 à 23:13
Posté par Profilhomere homere

bonsoir,

Je reprends l'expressoin où j'avais oublié le carré:


AB2+AC2=2AA'2+(BC/2)2+(BC/2)2+2AA'(A'B+A'C)

une première remarque:  A'B+A'C=0  (A' milieu de [BC] ) et remplaçons les segments par les lettres minuscules

c2+b2=2AA'2+(a/2)2+(a/2)2

c2+b2=2AA'2+a2/4+a2/4  et je pense que tu pourras terminer sans moi
re : Devoir en Temps Libre#msg1661278#msg1661278 Posté le 17-02-08 à 23:22
Posté par Profilhomere homere

Pour la question suivante ,je t'explique les differentes étapes  (tu dois faire les calculs tout seul)

Etape 1 : appliquer le théorème de la médiane au triangle ABD associé à la médiane AJ

Etape 2:  triangle DCB et la médiane CJ

Etape 3: triangle AJC et la médiane JI

Bon courage
re : Devoir en Temps Libre!#msg1661835#msg1661835 Posté le 18-02-08 à 12:34
Posté par koiskek (invité)

merci beaucoup j'attaque les autres questions!
re : Devoir en Temps Libre!#msg1671619#msg1671619 Posté le 21-02-08 à 18:01
Posté par koiskek (invité)

pfouh!

je suis encore bloqué, mon calcul est sans fin!

éclaire moi sur un truc s'il te plait, apres avoir apliqué le théoréme de la médiane, j'ai tout rassemblé en un calcul, doit-je appliqué la methode du "carrée scalaire"? pour aprés m'aider de la relation de chaal ?

merci d'avance pour ton soutien!
re : Devoir en Temps Libre!#msg1671630#msg1671630 Posté le 21-02-08 à 18:03
Posté par koiskek (invité)

chasles* pardon!
re : Devoir en Temps Libre#msg1671901#msg1671901 Posté le 21-02-08 à 19:01
Posté par Profilhomere homere

bonsoir,

Il est dommage que tu n'arrives pas à te débrouiller tout seul (surtout avec les indications que je te donne)


Triangle ABD    AD2+AB2=2AJ2+(1/2)DB2

Triangle DCB    CD2+CB2=2CJ2+(1/2)DB2

Ajoutons ces 2 relations membre à membre:

AD2+AB2+CD2+CB2=2(AJ2+CJ2)+DB2


Dans le triangle CJA   JA2+JC2=2JI2+(1/2)AC2

remplaçons dans l'equation précédente ,les termes se trouvant dans la parenthèse par les résultats de ce dernier calcul

AD2+AB2+CD2+AD2=2(2IJ2+1/2AC2)+DB2

En developpant ce résultat tu vas trouver la relation demandée..

Comme ce sont des carrés, il est clair que ,par exemple, BC2=CB2
re : Devoir en Temps Libre!#msg1672175#msg1672175 Posté le 21-02-08 à 20:03
Posté par koiskek (invité)

finalement j'ai réussit a m'en sortir sans ces indications!

je m'attaque à la suite de mon devoir merci pour tout! et bonne continuation!
re : Devoir en Temps Libre!#msg1672184#msg1672184 Posté le 21-02-08 à 20:06
Posté par Profilfusionfroide fusionfroide

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Merci

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