Forum des énigmes mathématiques :
ENIGMA 15: Cercle de nombres

Bonjour


On fait disposer sur un cercle n nombres (1, 2, 3, ..., n) à condition que la somme de chaque deux nombres adjacents soit divisible par celui qui vient juste après eux dans le sens horaire !



Y a-t-il une plus grande valeur pour n? Si oui, laquelle?


A vous

                                                                        
*** image placée sur l'***

Pour n=3, on a la succession : …1-3-2-1… qui marche.
Pour n=4, si on part de 1.
La succession …1-2 implique 1-2-3-4-1 qui ne marche pas (2+3 non divisible par 4)
La succession …1-3 implique 1-3-2-4-1 ou 1-3-4-2-1 qui ne marchent pas (3+2 non divisible par 4 et 3+4 non divisible par 2)
La succession …1-4 implique 1-4-3-2-1 ou 1-4-2-3-1 qui ne marchent pas (1+4 non divisible par 3 et 2)
D'une manière plus générale, si on considère la parité des nombres :
Les successions P-I-I, P-P-I, P-P-P, I-I-I, I-I-P, I-P-I sont possibles alors que les successions P-I-P et I-P-P ne sont pas possibles.
On constate que le passage d'une succession possible à une autre, sans créer de déséquilibre entre pair et impair, nécessite d'utiliser une succession impossible.

n=3 est donc la valeur la  plus grande.

Bonjour

J'éspère que j'ai bien compris l'énoncée:
je suppose qu'on doit mettre tous les nombres de 1 jusqu'à n, ce qui rends la disposition demandé impossible pour tout n>=2 (si n=1 on aura pas d'adjascence), car n est superieur à la moitié de toutes les sommes donc elle ne peut pas être diviseur d'aucune somme.

Je répondrait donc impossible de trouver une plus grande valeur pour n.

_{même si on a droit à des répétitions la réponse sera la même car on pourra tout simplement remplir toutes les n cases par le même nombre et notre condition sera toujours vérifié.}

Je sens l'odeur du poisson dans cette énigme, mais j'éspére ne pas le récupérer .

Merci pour l'énigme .

Bonjour,

Après quelques essais, je pense que la valeur maximale de n est 3 :
à partir de n = 4, on a au moins autant de possibilités d'obtenir un nombre premier en additionnant deux nombres que de nombres à placer. On arrive donc toujours à un nombre premier avant d'avoir complété le cercle.

En dehors du cas n=1 (qui fonctionne), il y a des nombres pairs placés sur le cercle. Notons  C l'un d'eux. Soient A et B les deux nombres tels que A,B et C se suivent dans l'ordre horaire;
A+B est divisible par C, donc pair.
Si  B était pair, A le serait aussi. En remontant le temps, on verrait de même que tous les nombres sont pairs: absurde!
Donc B est impair donc A aussi.
Tout nombre pair est donc précédé sur le cercle par au moins deux nombres impairs. Si k est le nombre de nombres pairs entre 1 et n et k' le nombre des impairs, on a donc k'>=2k.
Comme k'=k ou k+1, la seule possibilité est k'=k+1 et k=1.
Les 3 nombres sont 1,2 et 3.
Réciproquement, en plaçant 1,2,3 dans l'un ou l'autre sens, les contraintes sont respectées.
Finalement:
La plus grande valeur de n est 3.

Amitiés à tous et merci à Monrow.

le nombre n est 3

Salut, je dirais que l'on ne peux pas dépasser 3 parce qu' il y a toujours une somme de nombre qui est première dans le cercle, mais bon, j'ai vraiment répondu a la va vite...

n=2, car si 1+2 est bien divisble par 1; 2+1 n'est pas divisible par 2

Salut!

Si j'ai bien compris la question, je dirais que la plus grande valeur possible pour n est n=3. (La propriété n'est pas vérifiée pour n=4)

@+ et merci pour l'énigme

Examinons la parité des nombres de la ronde : la somme d'un nombre pair (P) et d'un nombre impair (I) étant impaire, on ne peut rencontrer les séquences…PIP… et …IPP…. Il en résulte que les termes impairs vont obligatoirement par séquences d'au moins deux consécutifs, tandis que les termes pairs sont solitaires, encadrés par deux impairs. Donc le nombre nI de termes impairs est au moins le double du nombre nP de termes pairs ; nI≥2nP Mais, puisque la ronde comprend tous les entiers de 1 à n, nI=nP si n est pair et nI=nP+1 si n est impair.
Le problème n'est donc soluble que pour nI=2, nP=1, et n=3. (ronde 1,2,3,… ou 1,3,2 )

il n'existe pas de plus grande valeur pour n car il y a une infinité de solutions pour n max
                
1;2;3;5;8;13;21   34[max]  ;11;9;10;19 en multipliant cette suite par x :entier positifs ,ceux ci marche

donc la valeur max sera 34x donc

=======================================>                                                be
=======================================>



      

        

Bonjour monrow

C'est possible évidemment pour n = 3, et j'ai mis mon ordinateur à genoux en lui faisant chercher en vain des solutions pour n = 4, 5, 6,..., 12.

En fait la plus grande valeur possible pour n est égale à 3.

Commençons par montrer que deux nombres adjacents ne peuvent pas être tous les deux pairs.
En effet, si l'on avait une séquence Pair-Pair, le nombre qui les précède serait forcément pair lui aussi, sinon on aurait une suite Impair-Pair-Pair et la somme des deux premiers serait impaire, donc non divisible par le troisième qui est un nombre pair.
Donc si deux nombres pairs se suivaient, le nombre qui les précède serait lui aussi pair, et par récurrence tous les nombres de la roue seraient également pairs, ce qui est absurde.

Donc un nombre pair est forcément précédé par un nombre impair.

Mais le nombre qui les précède est forcément impair lui aussi, car si l'on avait la sequence Pair-Impair-Pair, la somme des deux premiers serait impaire, donc non divisible par le dernier qui est pair.

Ainsi, tout nombre pair est forcément précédé par au moins deux nombres impairs. Il y a donc au moins deux fois plus de nombres impairs que de nombres pairs dans l'ensemble {1, 2, ..., n}.

Dès que n dépasse 3, cette propriété devient fausse, ce qui prouve que n est au maximum égal à 3.

Cordialement
Frenicle

      

Salut ! Voici ma réponse :

dans le cercle : (n-1+n+1)/n = 2
au raccord : (n-1+1)/n = 1 et (n+2)/1 = n+2

Et donc, il n'y a pas de plus grande valeur de n.

matovitch

Bonjour, après quelques calculs je pense que la plus grande valeur possible pour n est 3.

Bonjour,

Notons "P" un nombre pair et "I" un nombre impair.

Pour n2 on a au moins une séquence I-P, le nombre suivant devant diviser I+P (impair) est donc impair: I-P-I.
De même le nombre suivant, qui doit diviser P+I, est lui aussi impair: I-P-I-I.

Le cinquième nombre peut être pair ou impair.
S'il est pair,on obtient la séquence I-P-I-I-P, à nouveau suivie de I-I. Donc: I-P-I-I-P-I-I (1)
S'il est impair,on obtient I-P-I-I-I (2)

Cas (1): I-P-I-I-P-I-I --> I-P-I-I-P-I-I-I (1a) ou I-P-I-I-P-I-I-P (1b)
Cas (2): I-P-I-I-I --> I-P-I-I-I-I (2a) ou I-P-I-I-I-P (2b)

On observe qu'à partir de la séquence initiale I-P-I-I (3 impairs, 1 pair), les doublets successifs comportent au moins un impair.
La séquence P-P, qui permettrait de rééquilibrer les parités n'apparaît jamais.
Par conséquent, une fois la boucle bouclée, on aura toujours impairs-pairs 2, alors que pour n pair, on devrait avoir impairs-pairs = 0, et pour n impair, impairs-pairs = 1.

Le plus grand n possible est donc 3, avec 1-2-3(-1...) ou 3-2-1(-3...).

A+,
gloubi

Bonjour,
C{1,2,3,4,....,n}-> {1,2,3,4,...,n}
C(i+2)=IC(i)+C(i+1)
C(1)IC(n-1)+C(n)
C'2)IC(n)+C(1)
une peine tation
t.q
_i=1,n-2

Bonjour,

Considérons la suite de Fibonacci en commençant avec n=1
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21... et arrêtons nous à un chiffre impair. On les dispose sur un cercle dans cet ordre.

La somme de deux nombres adjacents est divisible par le suivant. Si le dernier chiffre est impair et qu'on y ajoute le premier (c'est à dire 1, comme on est sur un cercle, le suivant du dernier est le premier), on obtient un nombre pair qui est divisible par le deuxième chiffre (c'est à dire 2).

Dans la suite de Fibonacci, les nombres sont alternativement pairs et impairs. Donc, on peut prendre un valeur aussi grande que l'on veut pour n.

Merci pour l'énigme

(re)Boujour!
J'aimerai pouvoir annuler ma 1 ere réponse...si c'est possible (j'avais trés mal compris l'ennoncé).

la limite à n est 3.

En effet si P rêprésente un pair et I un impair.

P+P divisible par P
P+I ou I+P divisible par I

donc le cercle se représente :

I-P-I-I-P-I-I-P-I          OU         P-P-P-P-P-P-P-P-P

or lorsque les nombres sont consécutifs nb I= nb P ou bn I = nb P + 1 !

donc la limite à n est n=3.

matovitch

Non il n'y a pas de plus grande valeur car on place dans un cercle 2 2 4 4 16 16 32 32 64 64 128 128 256 256 ...
La plus grande valeur dépens de la taille du cercle ^^

Bonjour,

Non , il n'y a pas une plus grande valeur à n , le nombre n sera à côté du nombre 1 , tout nombre est divisible par 1.

bonjour,

Je ne trouve pas mieux que n=3
1  2
  3
ou
1  3
  2

Merci pour l'énigme.

ENIGME CLOTUREE

La bonne réponse était n=3

Merci pour votre participation

Alors là !
Je suis dégouté! même si c'est le reglement...
Ne pas me noter aurais été normal (une mauvaise, une bonnne), mais là me mettre un poisson je suis dégouté.

ps : désolé pour ce post pas du tout constructif (à supprimer)

matovitch >> malheureusement, c'est la 1ère réponse qui compte !
Et aucun message n'est supprimé ...

Je me disais bien qu'il y avait 4 énigmes qui me font douter , c'étais : Périmètre minimum, Chauffeur de camion, La liberté affreuse et cellà , ça a marché avec 3 mais pas avec la 4^ème. Mais bon 3/4 c'est quand même une bonne moyenne .

_{Dommage pourtant tout se passait parfaitement}

Bonjour,

citation :
On fait disposer sur un cercle n nombres

Je trouve que cette phrase est assez différente de "On fait disposer sur un cercle les nombres de 1 à n"

Mais bon, tant pis pour moi, je n'ai pas bien compris ce que tu voulais dire...

davidh >> la suite entre parenthèses permettait de lever le doute :

citation :
On fait disposer sur un cercle n nombres (1, 2, 3, ..., n)

bonsoir,
>>jamoc'est justement à cause de ces (  )que je n'ai pas participé  à cette énigme
(1,2,3....n) c'est un n-uplet donc j'ai d'abord compris qu'il s'agissait de la suite des n premiers entiers  il était alors trivial que pour n=4 cela ne marchait pas  donc pour une énigme à 2* c'était un peu simple
je suis d'accord avec davidh:il aurait fallu que le texte dise"disposer sur un cercle les entiers de 1 à n"