Forum des énigmes mathématiques :
ENIGMA 16: Tue-Racines

Bonjour

je me permet de poster une très petite énigme astucieuse plutôt orientée côté maths (pas beaucoup en fait )

peut s'exprimer beaucoup beaucoup plus gentiment sous la forme de avec a et b deux entiers naturels.

Pouvez vous trouver a et b?


L'usage d'une calculatrice ou d'un programme est interdit ! Une démarche bien claire est nécessaire pour avoir son smiley



Bon calcul !

_{* correction énoncé le 14/02 à 09:28 *}

En multipliant numérateur et dénominateur de la fraction par le conjugué, on obtient :
((k+1) k - k (k+1))/(k*(k+1)), soit 1/k - 1/ (k+1).
En sommant on obtient 1/1 - 1/ (4016105+1).
Ici, j'ai supposé qu'il y avait une erreur d'énoncé et que la borne supérieure était 4016015 au lieu de 4016105.
On obtient donc :
1-1/2004 = 2003/2004
a=2003 et b=2004.

Bonjour

on a 1/(k(k+1)+(k+1)k)

= (1+k-k)/[k . (k+1) .(k + (k+1))]

= ([(1+k)]²-[k]²)/[k . (k+1) .(k + (k+1))]

=  ((k+1) - k)/[k . (k+1)]

= 1/k   -   1/(k+1)

par élimination terme à terme notre somme S s'écrira:
S=1-1/(4016015+1)=1-1/4016016

or ona 4016016 = 4.10⁶+16.10³+16 = (2.10³)² + 2x4x2.10³+4² (produit remarquable) ==> 4016016 = (2.10³+4)² = 2004².

==> S= 1-1/2004 = 2003/2004

d'ou a=2003  ,  b=2004

merci pour l'énigme .

Merci à Monrow pour cette avalanche de jolies énigmes!

En multipliant haut et bas par la quantité conjuguée


En sommant de 1 à 4016015, les termes se télescopent et il ne reste que
.
En factorisant dans 4016016 le maximum de carrés, on voit que c'est le carré de 2.2.3.167 (avec un peu de tâtonnements pour 167).
La somme est donc égale à

Donc a=2003 et b=2004.

Bonjour,


Je commence par multiplier le numérateur et le dénominateur par         pour éliminer les racines carrées du dénominateur. Après avoir simplifié l'expression, je constate que tous les termes intermédiaires de la somme s'annulent :

Salut,
Je penseu que la partie en fonction de k que l'on somme vaut .
En sommant, on remarque que cela donne
Soit,

bonjour,
je suis partie ce matin avec la première version: problème impossible
sinon c'est simplement le principe des dominos
u_kle terme général de la somme s'écrit( 1/k)-(1/k+1) expression obtenue en multipliant numérateur et dénominateur par  [k(k+1)-(k+1)k]
=1-1/4016016 ( principe des dominos les termes s'éliminent deux à deux sauf le premier et le dernier)
or 4016016=2004²
donc la somme est égale à 1-1/2004=2003/2004=a/b

merci d'avoir corrigé l'énoncé

bonsoir
la somme est 2003/2004
la somme des n premiers termes est [V(n+1)-1]/V(n+1)
c'est vrai pour n = 1
1/(V2+2) = (V2-1)/V2 car les produits en croix V2 et (V2-1)(V2+2) = 2+2V2-V2-2 = V2 sont égaux
si c'est vrai pour n-1, c'est vrai pour n
la somme des n premiers termes est (Vn-1)/Vn + 1/[nV(n+1)+(n+1)Vn]; cette addition donne une fraction A
le numérateur de A est (Vn - 1)[nV(n+1) + (n+1)Vn] + Vn
= nVnV(n+1) + n(n+1) - nV(n+1) - (n+1)Vn + Vn
= nVnV(n+1) + n² + n - nV(n+1) - nVn
le dénominateur de A = Vn[nV(n+1) + (n+1)Vn]
= nVnV(n+1) + n(n+1) = nVnV(n+1) + n² + n
A = [(nVnV(n+1) + n² + n) / (nVnV(n+1) + n² + n)] - [(nV(n+1) + nVn) / (nVnV(n+1) + n² + n)]
or (nV(n+1) + nVn) / (nVnV(n+1) + n² + n) = (V(n+1) + Vn) / (VnV(n+1) + n + 1) = 1/V(n+1) car les produits en croix sont égaux
V(n+1)(V(n+1) + Vn) = n+1 + VnV(n+1) = VnV(n+1) + n + 1
donc A = 1 - 1/V(n+1) = [V(n+1)-1]/V(n+1) cqfd

bonjour
en factorisant le dénominateur du terme général de la somme par k* (k+1) puis en multipliant numérateur et dénominateur par (k+(k+1)),le terme général est égal à
((k+1)-k)/(k*(k+1)), ceci étant aussi égal à
(1/k)-(1/(k+1)).
en sommant de k=1 à k=4016015
on obtient 1-1/4016016
c'est à dire 1-1/2004
ce qui vaut 2003/2004.
Mon résultat est donc 2003/2004

Exprimons le terme général d'une façon plus simple

Commençons par factoriser le numérateur en mettant ((k(k+1))en facteur commun

k(k+1)+(k+1)k=((k(k+1))((k+1)+k)

Puis multiplions dénominateur et numérateur par (k+1)-k, quantité conjuguée de (k+1)+k

Le numérateur devient (k+1)-k
alors que le dénominateur devient ((k(k+1)

Il n'y a plus qu'à séparer les deux termes et à simplifier pour obtenir
1/k-1/(k+1)

Quand on calculera la somme les termes se simplifierons deux à deux et il ne restera que
1-1/4016016=1-1/2004=2003/2004

Bonjour monrow

On vérifie facilement que :



La somme est donc "télescopique" et vaut



Cordialement
Frenicle

Bonjour



On a donc une somme télescopique, et comme de par hasard 4016015 + 1 = 2004² donc :

La somme s'écrit

Sauf erreur

Bonjour,

Je résume un peu les calculs


Donc la somme est égale à 1-1/2004

Donc a=2003 et b=2004

Bonjour





en multipliant par le conjugué

soit :Ak=1/(kV(k+1) +(k+1)Vk en multipliant numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur on obtient Ak =(kV(k+1) -(k+1)Vk) /-k(k+1)ou encore Ak =Vk/k -V(k+1)/k     (V désigne racine carrée)
la somme des Ak ,k variant de 1 à 4016015 est égale à V1/1 -V4016016/4016016
cette dernière ést= à 1 -2004/4016016 ,en réduisant au même dénominateuron obtient la forme a/b où a et b sont des nombres entiers naturels

Salut!

Posons
On multiplie par l'expression conjuguée, et on obtient :
soit, après simplification du dénominateur :


D'où, en séparant en 2,



On a donc :



Ainsi, les termes s'éliminent 2 par 2, et il reste :



Or
Donc

Donc a=2003 et b=2004. J'espère que la démonstration est correcte.

@+ et merci pour l'énigme

B'jour,

On a :












Par télescopage, on a donc :


Or,

Donc :

a=2003
b=2004

1/(k(k+1)+(k+1)k)=1*(k(k+1)-(k+1)k)/(k(k+1)+(k+1)k)*(k(k+1)-(k+1)k)=
(k(k+1)-(k+1)/(k²(k+1)-(k+1)²k)=(k(k+1)-(k+1)/(-k(k+1))=-1/((k+1))+1/k
d'où=-1/2  +1/1 -1/3 +2  -1/4  +1/3-.............-1/401615 +1/401614 -1/401616+ 1/401615 =1 - 1/2004=2003/2004  
a=2003 et b=2004  

Soit S la somme cherchée.
1/((k+1)rac(k)+k*rac(k+1))=((k+1)rac(k)-k*rac(k+1))/k(k+1)=1/rac(k)-1/rac(k+1)
Donc S=1-1/rac(N+1) avec N=4016015; or rac(4016016)=2004
Donc S=2003/2004 et a=2003, b=2004

2023/2024

A+
Torio

1/[(k(k+1))+((k+1)k)]
=[(k(k+1))-((k+1)k)]/[-k^2-k]
=k/k - (k+1)/(k+1)
=1/k - 1/(k+1)
apres il suffit d'additionner les nombres k de 1 à 4016015
et il va rester 1 - 1/2004=(2003/2004)

voila ma réponse :

On a

En multipliant par l'expression conjugée, on obtient :



Soit :

Soit :

Donc : =

Cette somme se simplifie en :

La racine carrée de 4016015+1 est 2004
Donc = 1-1/2004 = 2003/2004
a = 2003 b = 2004 !

Bonjour une bonne énigme,
Posons V_n

u_k= =

u_k===

V_n= u₁+++

Donc c'est 2007001/2007008

Bonjour,

Etudions la suite U définie par U₀ = 0 et U_n = U_n-1 +

En effet, = U_4016015


Voyons les premiers termes:

U₁ =

U₂ =


On peut raisonnablement conjecturer que U_n =

Une petite récurrence devrait suffire.

La formule est vraie pour n = 1.
Il reste à montrer que si elle est vraie pour n, elle l'est également pour n+1, autrement dit que



Cette expression équivaut à:







²²



  CQFD

Donc

Ouf!
_{Soyez indulgents, c'est mon baptême du feu avec Latex...}


A+,
gloubi

Bonjour

donc

donc

Simplifions :


=
=
=
=
=

En remplaçant cette dernière expression dans la somme proposée,
on s'aperçoit que les termes s'annulent de proche en proche.

Donc :


= où k=4016015

Remarquons que 4016015+1 est un carré parfait. Dingue!


La solution est donc :



ou encore

On a : 1/(k(k+1)+(k+1)k)=(k(k+1)-(k+1)k)/(k²(k+1)-(k+1)²k)
=(k(k+1)-(k+1)k)/(k(k+1)(k-(k+1))
=k/k-(k+1)/(k+1)
=1/k-1/(k+1)

Donc S= (1/1)-(1/2)+(1/2)-(1/3)+.....-(1/4016016)=1-1/2004=2003/2004

Donc a=2003 et b=2004

Bonjour,

J'ai commencé par calculer pour des petites valeurs de N.
J'ai trouvé que pour N=3, la somme vallait 1/2, pour N=8: 2/3.
Après, j'avoue m'être servi d'Excel pour trouver les valeurs suivantes...
N=15: 3/4
N=24: 4/5
N=35: 5/6
etc...

Les valeurs de N donnant une valeur rationnelle sont définis par la suite:
u₁=3
u_n=u_n-1+2n+1

Ce qui donne:
u_n=n²+2n

L'expression sera rationnelle si 4016015 est de la forme n²+2n et vaudra

Ici encore je me suis aidé d'Excel... pour trouver que 4016015 = 2003² + 2*2003

L'expression vaut donc:

a=2003 et b=2004


_{Je sais qu'il est précisé que l'on ne peut pas utiliser de calculatrice ou de programme, mais je n'ai utilisé Excel que très peu et pour de petits calculs, la démarche de réflexion est quand même là.
Mais bon j'accepterai quand même le poisson...}


Merci pour cette énigme.

ENIGME CLOTUREE

Désolé pour Torio qui a juste commis une très petite faute de calcul, et lo5707

lune et étoile aussi était dans ses derniers calculs ... mais déterminer la valeur de a et b était obligatoire (qui sait qu'on va faire une petite erreur de calcul comme ce qui est arrivé à torio ...)

Merci pour votre participation

Tant pis...