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Aire commune entre 2 cercles

Posté par
cocozumbo 15-02-08 à 22:46

Bonjour,

Merci d'avance pour une contribution à la résolution du problème suivant:

Soient 2 cercles sécants C de centre O, de rayon r et C' de centre O' de rayon R, avec r<R et r=OO' (le dessin ci-dessous n'est pas exact, le petit cercle devant passer par le centre du grand cercle, mes connaissance du latex du forum ne m'ont pas permis de faire une figure exacte mais je pense que le dessin même inexact,  aide à la compréhension du problème).
Peut-on trouver une relation entre r et R telle que l'aire commune aux 2 cercles soit égale à \pi\frac{r^2}{2}, la moitié de l'aire du petit cercle C ?

\unitlength{1}\picture(175,200){~(50,50){\circle(50)}~(100,50){\circle(100)}{1,75}

J'ai trouvé une relation de la forme \pi-\beta+\sin \beta )r^2=(\alpha-\sin \alpha) R^2 , \alpha et \beta étant les angles de sommets O et O' du quadrilatère formé par les points O, O' et les 2 points d'intersection des 2 cercles, en calculant la somme des aires des 2 secteurs angulaires de centres O et O' et en y retranchant l'aire du quadrilatère précité qui est comptée 2 fois lorsqu'on fait la somme des 2 secteurs angulaires.

Peut-être est-il possible de trouver une relation uniquement entre r et R ?

Posté par
dami22suire : Aire commune entre 2 cercles 15-02-08 à 22:56

Salut

L'aire commune n'atteindra jamais la moitie du petit cercle (si comme je l'ai compris le grand cercle passe par le centre du petit)
En effet il te faudrait un diametre pour ton petit cercle, et un cercle n'est pas droit

Posté par
lafol Moderateurre : Aire commune entre 2 cercles 15-02-08 à 23:04

Bonsoir
dami : c'est le contraire : son petit cercle passe par le centre du grand (donc le centre du petit est intérieur au grand)

Posté par
cocozumboAire commune entre 2 cercles 16-02-08 à 08:02

Bonjour,

Je vois que ce problème suscite votre intérêt.
Auriez-vous une idée pour trouver une relation uniquement entre r et R en calculant ou en "éliminant" dans la relation que j'ai trouvée, \alpha, \beta, \sin \alpha et \sin \beta

Posté par
cocozumboAire commune entre 2 cercles 16-02-08 à 08:16

Bonjour,

Je vois que ce problème suscite votre intérêt.
Auriez-vous une idée pour trouver une relation uniquement entre r et R en calculant ou en "éliminant" dans la relation que j'ai trouvée, \alpha, \beta, \sin \alpha et \sin \beta

Posté par
siOkre : Aire commune entre 2 cercles 16-02-08 à 10:23

Bonjour

voici une mise en dessin du problème.

Je commencerais à m'intéresser au cas limite où les deux rayons sont égaux: des fois qu'on s'aperçoive que le problème est impossible.

Posté par
siOkre : Aire commune entre 2 cercles 16-02-08 à 10:25

avec l'image c'est mieux !

Aire commune entre 2 cercles

Posté par
cocozumboAire commune entre 2 cercles 16-02-08 à 12:27

Sauf erreur de ma part, l'aire commune aux 2 cercles est la bleue plus la jaune plus la blanche à droite du triangle bleu et limitée par l'arc de cercle jaune.

La question est bien de savoir si elle peut-être égale à \pi \times \frac{r^2}{2}, et si on suppose que r=R, la formule que j'ai calculée avec cette hypothèse donne : \pi-\beta+\sin\beta=\alpha-sin\alpha.

La question devient : est-il possible de trouver alpha et beta tels que cette relation soit vérifiée ?

Posté par
siOkre : Aire commune entre 2 cercles 16-02-08 à 12:41

oui, j'ai oublié de colorier !

r = R  donne    alpha = beta = 120 °

Et je me demande si l'aire ne serait pas inférieure à pi * r² / 2 ?  (je n'ai pas fait les calculs en détail)

de toute façon comme quand r varie de 0 à R, l'aire semble augmenter, cela nous dira si c'est possible ou pas ...

Posté par
cocozumboAire commune entre 2 cercles 16-02-08 à 14:59

Ci-dessous les calculs de l'aire commune :

Aire du secterur angulaire CBO = \frac{1}{2}\alpha r^2

Aire du secteur angulaire CAD = \frac{1}{2}\beta R^2

Aire du quadrilatère ADBC = 2 fois aire du triangle EAD + 2 fois aire du triangle EBD

Aire du triangle EAD = \frac{1}{2}\times ED\times EA

=\frac{1}{2}\times R^2 \sin(\frac{\beta}{2})\cos(\frac{\beta}{2}) car ED=R\sin(\frac{\beta}{2}) et EA=R \cos(\frac{\beta}{2})

donc 2 fois aire du triangle EAD = R^2 \sin(\frac{\beta}{2})\cos(\frac{\beta}{2})=\frac{1}{2}R^2\sin\beta

de même 2 fois aire du triangle EBD = \frac{1}{2}r^2\sin \alpha

alors l'Aire commune aux 2 cercles est =  Aire du secterur angulaire CBO + Aire du secteur angulaire CAD - Aire du quadrilatère ADBC

soit :

\frac{1}{2}\alpha r^2+\frac{1}{2}\beta R^2-\frac{1}{2}(R^2\sin\beta + r^2\sin \alpha)

La relation s'écrit donc :

\pi\times \frac{r^2}{2}=\frac{1}{2}\alpha r^2+\frac{1}{2}\beta R^2-\frac{1}{2}(R^2\sin\beta + r^2\sin \alpha)

ou encore

\pi\times r^2=\alpha r^2+\beta R^2-(R^2\sin\beta + r^2\sin \alpha)

et enfin

(\pi-\alpha-\sin\alpha)r^2=(\beta-\sin\beta)R^2

et la question me semble encore non résolue : peut-on trouver alpha et beta tels que cette relation soit satisfaite ?

Nota-bene : siOk pourrais-tu s'il te plait me communiquer le code latex qui t'a permis de faire le dessin?

Merci

Posté par
lafol Moderateurre : Aire commune entre 2 cercles 16-02-08 à 16:54

Bonjour
sauf erreur le dessin est fait par geogebra

Posté par
slorevivre : Aire commune entre 2 cercles 16-02-08 à 17:18

bonjour, je vous suis ...ç a me rappelle une histoire de chèvre !!

Posté par
slorevivre : Aire commune entre 2 cercles 16-02-08 à 17:32

bonjour je trouve
presque la meme chose que toi cocozumbo sauf ta derniere ligne
R^2\times (\beta-\sin(\beta)=r^2\times (\pi-\alpha+\sin(\alpha))

Posté par
slorevivre : Aire commune entre 2 cercles 16-02-08 à 17:37

et on a aussi {R\over \sin({\alpha\over 2}}={r\over \sin({\beta\over 2}}

Posté par
slorevivre : Aire commune entre 2 cercles 16-02-08 à 17:39

et on a aussi {R\over \sin(\alpha/2)}={r\over \sin(\beta/2)}et on peut poser \theta=\pi-\alpha

Posté par
siOkre : Aire commune entre 2 cercles 16-02-08 à 18:58

1) pour la figure Geogebra effectivement puis paint pour coloriage

2) j'avais écrit
"de toute façon comme quand r varie de 0 à R, l'aire semble augmenter, cela nous dira si c'est possible ou pas ..."
c'est une erreur de raisonnement ... l'aire de l'intersection augmente mais j'ai oublié que le second membre variait aussi !
donc effectivement le problème n'est pas résolu

3) on a aussi:   r = r cos(alpha/2) + R cos(beta/2)

4) on peut poser R = 1 car si on réussit le problème, avec 1 ... il suffira d'agrandir la figure avec un facteur R

5) à mon avis, pour avoir une valeur exacte exprimable avec des racines et opération usuelles ... cela va être dur (mais bon c'est une conjecture)


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