Challenge n°35 QCM

Posté par puisea puisea

Voici les représentations graphiques de 2 fonctions sur l'intervalle [-1;1]. Laquelle de ces relation est vérifiée pour tout x ?

a) g(x) = f(|x|)
b) g(x) = |f(|x|)|
c) g(x) = |f(x)|
d) g(x) = f²(x)
c) il n'y a aucune relation entre g(x) et f(x)

Sans justification, la réponse ne sera pas validée...

Bonne chance à vous

Posté par titimarion (invité)

Salut
C'est la relation b qui est vraie
en effet  sur le graphe on peut observer que g est une fonction paire donc cela élimine les réponses c et d
De plus g est positive, cela élimine la réponse a puisque f n'est pas tout le temps positive sur [0,1]
Il ne nous reste que les propositions b et e
Or si l'on prend |f(|x|)| c'est une fonction paire, donc son graphe symétrique par rapport axe des ordonnées on ne doit donc comparer cette fonction a g que pour x>0
Or on peut observer que sur x> g(x)=|f(x)| d'après les courbes.
Ainsi comme elles sont toutes deux paires, elles correspondent sur l'ensemble de définition.
Enfin, elle semble correspondre, cependant sur un schéma on ne peut ^tre sur de rien, certaine courbe sont si proche qu'en les com^arant à l'oeil nue on ne voit pas de différence, donc je ne jurerai de rien.

Posté par Richte (invité)

Voila, je tente ma chance et repond a ma premiere enigme,
la bonne reponse me semble etre la reponse b)
en effet la courbe de g(x) est strictement postive, et symetrique par rapport a l axe des ordonnées.
en observant les deux courbes on se rend compte que
g(x)=|f(x)| sur [0;+infini[
par la suite, on obsere que la fonction est donc paire(deja dit precedement, je sais je me repete)
d ou g(x)=g(-x) ce qui convient pour g(x)=|f(|x|)|
=> g(x) = |f(|x|)|
donc b est la reponse.
Oula vraiment pas doue pour la rédaction en esperant que cela vous suffise

Posté par franz franz

On constate que g est paire , positive sur [-1,1] et s'annule deux fois sur ]0,1[ (et donc deux fois sur ]-1,0[).

a) g(x)=f(|x|) FAUX :
Si la proposition a) était vraie, la courbe représentative de g coïnciderait avec celle de f sur [0,1] (intervalle où |x| = x ).
Or il existe des valeurs x de [0,1] telles que
f(x) < 0 et g(x) > 0

b) g(x)=|f(|x|)| VRAI :
Sur [0,1], g(x)=f(x) quand f(x) 0 et  g(x)=-f(x) quand  f(x) 0 donc g(x) = |f(x)| = |f(|x|)|  (car x 0)

Sur [-1,0], g(x) = g(-x) (car g est paire)
                     = |f(-x)| ( d'après ce qui est au dessus et car -x 0)
                     = |f(|x|)|


c) g(x) = |f(x)| FAUX
(x ]-1 0[ , f(x)>0 ) d'où ( x ]-1 0[ , |f(x)| > 0  ) ce qui est incompatible avec le fait que g s'annule sur ]-1 0[

d) g(x) = f²(x) FAUX
Pour la même raison que c)

e) il n'y a aucune relation entre g(x) et f(x)FAUX
car la proposition b) est vraie

Posté par Ben (invité)

Cas2: g(x) = |f(|x|)|
valeur absolue de x dit que c'est pareil pour les valeurs negative et positive. Et valeur absolue la fonction dit que sa sera toujour positif. Pour les point de g(x), lorsque x>0, si g(x)>0 alors on change rien, si  g(x)=0 alors on change rien. et si g(x)<0 alors symetrie axiale par rapport a l'axe des absices.
lorsque x<0 alors symetrie axiale par rapport a l'axe des ordonné de ce que l'on a obtenue dans la partie positive.

Posté par BioZiK (invité)

a) la représentation graphique de f(|x|) est une symétrie de la portion de la courbe situé à droite de l'axe des ordonnées (x positifs) par rapport à l'axe des ordonnés. On n'obtient donc pas une fonction positive ou nulle en certains points comme la fonction g. En effet la fct f pour x>0 est parfois négative d'où f(|x|) l'est aussi sur certains intervalles.

b) la représentation graphique de |f(|x|)| est la représentation de f(|x|) ( cf a) ) à laquelle on a déplacé les portions de courbes négatives par symétrie par rapport à l'axe des abscisses. On obtient donc la courbe g(x)

c) pour les x<0 on remarque g(x)=0 en 2 pts d'abscisses que l'on nomme x1 et x2. or on observe que f(x1) et f(x2) ne valent pas 0 d'où |f(x1)| et |f(x2)| ne valent pas 0 non plus. Donc on n'a pas pour tout x g(x) = |f(x)|

d) même raisonnement, pour les x<0 on remarque g(x)=0 en 2 pts d'abscisses que l'on nomme x1 et x2. or on observe que f(x1) et f(x2) ne valent pas 0 d'où f²(x1) et f²(x2) ne valent pas 0 non plus. Donc on n'a pas pour tout x g(x) = f²(x)

e) il y a bien une relation entre f(x) et g(x). voir la réponse b)

la seule relation vraie est la b) g(x) = |f(|x|)|

Posté par dad97 dad97

Bonsoir,

Je me permet de renommer la cinquième proposition e) au lieu d'un deuxième c)

Si c'était a) alors en notant [a;b] l'intervalle où f est négative, si on note c un élément de ]a;b[ on a f(c)<0 et donc on aurait g(-c)=f(c)<0 or g est positive sur [-1;1] donc ce n'est pas envisageable donc a est fausse.

Si c'était c), g étant manifestement paire
f n'est ni paire ni impaire il existe donc x dans [-1;1] tel que f(-x) est distinct de f(x) et de -f(x).
g(x)=|f(x)| et g(-x)=|f(-x)|
comme g est paire on a g(x)=g(-x) soit |f(x)|=|f(-x)|
soit ce qui contredit nos hypothèses sur x donc c est fausse.

Si c'était d, g est paire.
f n'est ni paire ni impaire il existe donc x dans [-1;1] tel que f(-x) est distinct de f(x) et de -f(x).
comme g est paire on a g(x)=g(-x) soit (f(x))²=(f(-x))²
soit ce qui contredit nos hypothèses sur x donc d est fausse.

Bien il nous reste b) et e).

Une réponse qui pourrait se justifier serait de dire que la qualité des graphes proposés est médiocre et que par conséquent la réponse e) paraît la plus raisonnable .
Mais si on estime que les graphes sont acceptables la proposition b) paraît refléter la vérité.
Pourquoi ? Bien si on s'intéresse seulement aux abscisses positifs il semblerait que g(x)=|f(x)| (symétries par rapport à l'axe des abscisses des points à ordonnées négatives de Cf).
Une fois cette étape acceptée, interessons nous aux abscisses négatives, on veut que g soit paire donc il faut que -x est la même image par g que x et en prenant |x| à la place de x on ne peut faire mieux .


Donc ma réponse est la réponse b) (avec le bémol de la remarque de mauvaise foi faite à propos de la réponse e) ).

Salut

Posté par Belge-FDLE Belge-FDLE

Salut à tous ,

Ma réponse est : b)

Raisonnement
Si on observe g(x), on se rend compte que sa coubre est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
On se rend compte également que sur [0;1], f(x) et g(x) sont très proches.
Pour que f(x) soit encore plus proche de g(x), il faudrait arriver à "répliquer" ce modèle (courbe f(x) sur [0;1]) sur [-1;0], sur lequel la courbe f(x) n'a pas le moindre rapport avec g(x). Pour cela, on utilise la valeur absolue sur le 'x' :

En effet, on sait que :


d'où  

Ainsi, la fonction f(|x|) est paire.
Du fait que pour x positif, , la courbe f(x) reste inchangée sur [0;1].
Du fait que f(|x|) est paire et que la courbe f(|x|) reste inchangée sur [0;1], la courbe f(|x|) sur [-1;0] s'obtient par symétrie de la courbe f(|x|) sur [0;1] par rapport à l'axe des ordonnées.

On obtient alors une courbe très proche de g(x) à cela près que les "creux" (en dessous de l'axe des abcisse) de f(|x|) devraient en réalité donner des "bosses" (au dessus de l'axe des abcisses).
On remarque d'ailleurs que les "bosses" de g(x) et les "creux" de f(|x|) ont la même amplitude.
Ainsi, pour obtenir g(x) à partir de f(|x|), il faut une nouvelle fois utiliser la valeur absolue pour obtenir : |f(|x|)|.
Ainsi, toute la courbe |f(|x|)|reste la même à f(|x|) lorsque   (propriété de la fonction "valeur absolue"), mais les "creux" se transforment bel et bien en "bosses" par symétrie par rapport à l'axe des abcisses, et on voit que  .

Voilà ,
Bonne chance à tous , et merci à Puisea pour cette énigme

En espérant avoir juste ,
À +

Posté par Myst (invité)

b) g(x) = |f(|x|)|
Il est clair que sur [0,1], on a g(x) = |f(x)|. (1)
De plus, la fonction est paire, donc f(-x) = f(x). Si g(x) = f(|x|), on a bien  f(-x) = f(x). (2)

En combinant (1) et (2), on trouve g(x) = |f(|x|)|.

Posté par Graubill (invité)

x [-1;1], g(x)0

a)exclu car x [0;1] (donc |x|=x ) tel que f(|x|)<0

c)exclu car x0 [-1;0], g(x0)=0 mais f(x0)>0, donc x [-1;0] g(x)<|f(x)|.

d)exclu car x0 [-1;0], g(x0)=0 mais f(x0)>0, donc x [-1;0] g(x)<f²(x).

soit c'est la relation b, soit il y en a aucune.
Bon graphiquement je suppose que si je note et les deux zero de la courbe de f(x) sur [0;1], que g(x) = f(x) sur [0;], g(x)= -f(x) sur [;], et g(x)=f(x) sur [;1].
et que g(x) est une fonction paire.

sur [0;1], |f(|x|)| = |f(x)|
|f(x)| = f(x) sur [0;] car f(x)>0, |f(x)| = -f(x) sur [;] car f(x)<0, et |f(x)| =f(x) sur [;1] car f(x)>0
Donc g(x) = |f(|x|)| sur [0;1]
sur [-1,1] |f(|-x|)| = |f(|x|)| donc c'est aussi une fonction paire.
Donc
Ma reponse est:
b) g(x) = |f(|x|)|

Posté par vxvsvsd (invité)

Il n'y a aucunes relations entre les courbes g et f par élimination.

Posté par puisea puisea

Bravo à tous, je me passerai de toutes explications vu l'explicité par laquelle sont exprimées les réponses proposées ci-dessus (je suis pas sûr que ce soit correcte au niveau de la synthaxe) Bon en tout cas bravo à tout ceux qui ont pris la peine de participer, prochaine énigme dans un court instant...