Re! Commence par montrer que est le corps de décomposition du polynôme X³-2 de Q[X].

Re!
Il faut donc que je montre que le polynôme est scindé dans ?

Oui.

J'ai écris : , comment poursuivre?

Il faut trouver les trois racines complexes de X³-2. Tu sais faire ça, non?

les trois racines sont , et .
On obtient

Le polynôme est donc bien scindé sur ce qui en fait le corps de décomposition de ce polynôme.
Une fois ceci montré, que doit-on faire Camélia ?

Ici, j=w. Si tu as une extension de degré 2 contenue dans ton corps (j'évite le latex qui est très lent aujourd'hui) elle est de la forme Q[a] et le polynôme minimal de a est de degré 2 sur Q mais aussi sur Q[racine cubique de 2] d'après l'exo d'hier] Essaye de montrer que a est forcément dans Q[w].

Je ne comprend pas pourquoi toute extension de degré 2 de est de la forme ?

On parle d'une sous-extension de degré 2 de Q[rac 2,w]. C'est une extension de deré 2 de Q qui est contenue dans le grand corps! Or une extension de deré 2 de Q est bien de la forme Q[a] avec a de degré 2.

Bonjour,
je me permet juste une question c'est quoi le compositum?

Je ne vois pas!

Ben, c'est un espace vectoriel de dimension 2 sur Q, il y a une base de la forme (1,a) et comme a²Q[a] il est combinaison linéaire de 1 et a, donc le polynôme minimal de a est bien de degré 2. On peut même choisir a (sans changer l'extension) de manière à ce que le polynôme minimal soit de la forme X²-m où m est un entier non carré.

quand on dit a de degré 2, ça signifie bien que ?
En fait, si on prend K un corps (et L/K), toute extension de degré n de K est de la forme K[a] ou a est dans L, algébrique sur K de degré n ?

Oui, c'est ce que l'on appelle le théorème de l'élément primitif (et je ne suis pas sure qu'il n'y ait pas des hypothèses tordues sur le corps). Mais sur Q et en degré 2 les deux lignes que j'ai écrites au-dessus, justifient tout à fait l'affirmation. (Mets pour Rodrigo un lien au topic d'hier ou on a déjà regardé cette histoire de compositum). Là je m'en vais, à demain!

C'est bon j'ai vu ce qu'était le compositum merci!
Le lemme de l'élément primitif est vrai sur une extension finie séparable...
Sur Q pas de problème il est parfait...

Extension et Compositum voila!

Tu connais un pue de théorie de galois?

Je ne connais pas ce thm!

Rodrigo, je n'ai jamais touché à cette théorie.
De même que je ne connais pas le théorème de l'élément primitif.

Peu importe ce qu'a dit camélia fonctionne pour une extension de degré 2.
Une autre façon de le voir si tu veux.
Si tu prends K/Q de degré 2 alors il existe un élément x dans K qui n'est pas dans Q son degré est obligatoirement 2, donc [Q[x]:Q]=2 et K=Q[x]

pourquoi son degré est obligatoirement 2 ?

ben son degré est soit 1 soit 2 mais s'il était de degré 1 il serait dans Q.

Mais on a toujours que si L/K finie (donc algébrique), [L:K]=deg Irr(a,K,X) ?

Je comprends pas trop tes notations c'est quoi Irr(a,K,X)? Le polynome minimal d'un certain a?

Si c'est ça alors oui c'est vrai pour une extension séparable...c'est le lemme de l'élément primitif...mais comme tu m'as dit que tu ne l'avais pas vu...

Irr(a,K,X) c'est la notation de mon prof pour dire que c'est le polynôme minimal de a sur K.

Donc oui c'est vrai mais apparement tu n'as pas vu ce resultat et ce qu'on a dit suffit pour le prouver sur une extension de degré 2 sur Q.

Ok donc supposons qu'il existe une autre sous-extension F de degré 2 de l'extension .
F est une extension de .
Il existe un élément x de F qui n'est pas dans . Deplus et implique que . Donc F est une extension de .
On a alors
Soit
Si alors . Donc necessairement .
Ce qui implique que donc que .

On a donc les deux extensions et il faut montrer que ?

On sait que l'on a donc forcément, .

Si on arrive à montrer que , c'est fini non?

Supposons donc que alors .

Puisque , on aurait que :


c'est absurde?

Oui ca marche.

pouvais vous m'aider svp merci pr mon topic

Ok Rodrigo.
Dois-je justifier que est une extension de ?

Ben tu as supposé que x était dans ton grands corps (Q de omega et racine cubique de 2) donc c'est evident que c'est une extension...

Oui c'est vrai...
Dans ce cas je conclus comme suit :
On a donc soit donc ie

Non tu ne sais pas que x=w mais tu sais que Q[x]=Q[w] ce qui est suffisant (on peut juste dire que x et w sont conjugués)

comment ça conjugés ?
comme élément de ?

Non conjugués...qui ont le meme polynome minimal ou encore qu'il existe un automorphisme Q linéaire de C qui envoie l'un sur l'autre.

ah, encore une notion que je ne connais pas.

Peu importe il suffisait de montrer que Q[x]=Q[w] ce qu'on à fait.

Ok.
Dis moi théorie de Galois c'est niveau M1 ?

J'en sais rien moi j'ai vu ca en L3 (enfin équivalent L3) mais dans mon ecole on suit pas beaucoup le programme de fac...

Le problème chez nous, on a commencé les extensions de corps (des généralités) et quand je vais à la bu je vois que des bouquins M1.
Je cherche des exos sur les corps finis, ou puis-je en trouver?

Je l'ignore...
Peut etre trouvera tu ton bonheur ici

Arf le lien fonctionne mal essaie

C'est bizzare, j'ai essayé certain exercice que je vais surement poster.
merci pour le lien.

Bon, je vois que vous vous êtes débrouillés.

H_aldnoer ne te lance quand même pas dans des exos au hasard. par exemple, celui-ci est une conséquance immédiate du théorème de Galois; comme de toute évidence tu ne le connais pas, nous avons ramé pour le faire sans. C'est parfois instructif, (c'était le cas ici, donc j'ai laissé faire) mais il arrive que ça se complique et des fois c'est décourageant.

Ok!
Je vais essayer de faire des exercices "de mon niveau".

"Je cherche des exos sur les corps finis, ou puis-je en trouver?"

ouvre un nouveau topic je contriburais là dessus .

lolo qui aime bien les corps finis