Forum des énigmes mathématiques :
Enigmo 4 : Le carré super magique

Bonjour,

pour l'Enigmo 4, nous allons nous intéresser au carré magique d'ordre 4 (vivement l'Enigmo 25 ! ).
Tout le monde connaît les carrés magiques, mais nous allons rajouter une nouvelle contrainte.

Le but est donc de placer tous les entiers de 1 à 16 dans les 16 cases du carré ci-dessous en respectant les contraintes suivantes :

- la somme des nombres sur chaque ligne, chaque colonne et chaque diagonale doit donner le même nombre ;

- de plus, et c'est là la nouveauté, la somme des nombres dans chaque sous-carré de 4 cases doit aussi donner le même nombre (un tel sous-carré est colorié ci-dessous, attention à ne pas en oublier).

Si vous pensez que c'est impossible, vous répondrez "problème impossible".
S'il existe au moins une solution, vous en donnerez une seule.

Bonne recherche.

Question subsidiaire : pourquoi l'autre image ?

Voici une des nombreuses solutions.

Bonjour jamo

Voici une solution :



Cordialement
Frenicle

Bonjour à tous et merci à Jamo.
Je suppose que le carré existe.
La somme des 16 premiers entiers étant 136 le total sur chaque ligne, chaque colonne, chaque diagonale et chaque sous-carré doit être de 39.
Connaissant 3 termes d'une ligne, d'une colonne, d'une diagonale ou d'un sous-carré, on détermine donc le quatrième.
En introduisant des inconnues A,B,C,D,E, je peux donc commencer la construction:

A           B                    D              39-A-B-D
C           39-A-B-C        A+C-D        ?
E           A+B-E             ?               ?

Ca se gâte quand on veut placer le dernier terme de la première colonne. car la somme sur la première colonne doit être égale à la somme sur la diagonale secondaire.
Cela impose A+C+E=A+B-E+A+C-D+39-A-B-D donc 2(E+D)=39.
C'est absurde puisque les nombres sont entiers.


Il n'y a donc pas de solution.

Quant à l'autre image, je ne vois pas bien sur mon écran..Je vais y réfléchir.

Il me semble que le carré suivant convient...
1  8  10 15
12 13 3  6
7  2  16 9
14 11 5  4

bonjour Jamo
15 10  8  1
6   3  13 12
9  16  2   7
4   5  11 14

donnent aussi une somme 34 :
les sommets du grand carré
les sommets des quatre carrés 3 * 3
les sommets des six rectangles 4*2
les sommets des deux grands rectangles obliques à 45°
les sommets des huit trapèzes isocèles de bases 4 et 2 et de hauteur 2

Bonsoir Jamo

Mon programme genere 384 solutions, chacun de ces soutions est répèté 8 fois en tournant le carré ou en inversant la face ce qui fait 384/8= 48 solutions distinctes, en voici une et merci pour l'énigme :

Et voila

Si on avait collé ce carré magique sur un tore, en faisant coïncider les deux bords gauche et droite et haut et bas toutes les sommes des sous-carrés donneraient le même nombre.

Bonjour,


Nombre de contraintes à respecter :

- on doit placer les entiers de 1 à 16 dans la grille
  1 contrainte
- La somme des nombres de chaque ligne, chaque colonne et chaque diagonale doit être égale à 34.
  10 contraintes
- La somme des nombres de chaque bloc de deux fois deux cases doit aussi être égale à 34. Il y a 9 de ces blocs dans le carré de 16 cases, donc
  9 contraintes

Soit un total de 20 contraintes à respecter pour seulement 16 nombres à placer. Cela revient à résoudre un système de 20 équations à 16 inconnues. Le problème est donc impossible.


Par contre, pour la subsidiaire : aucune idée   _{(j'espère qu'elle n'est pas éliminatoire )}

Salut!

Bon je me jette : problème impossible
Le carré magique sans les diagonales est possible : par exemple
1-16-2-15
14-3-13-4
5-12-6-11
10-7-9-8
La somme des lignes, colonnes et sous-carrés de 4 cases est égale à 34 mais pas la somme sur les diagonales.

@+ et merci pour l'énigme (et pour le poisson )

Bonjour

Pour moi, c'est problème impossible




Annabelle

problème impossible

A+
Torio

Bonjour,

Par exemple:

Pour la subsidiaire, pas d'idées

A+,
gloubi

Bonjour,

Salut à tous !
Le problème est impossible, car 1+2+3+4+...+14+15+16 = (16+1)*16/2 =136
or, il y a 9 sous-carrés et 136 n'est pas divisible par 9...

Pour l'image je vois pas...

matovitch

bonjour
voici ma réponse:problème impossible
en effet supposons que le carré soit de la forme:
a  b  c  d  
e  f  g  h
i  j  k  l
m  n  o  p
on aurait en particulier  a+b=g+h=i+j=o+p
                          a+e=j+n=c+g=l+p
Il faudrait écrire d'au moins deux facons différentes 34 sous la forme X+Y
avec X=u+v ,Y=w+t ,u,v,wet t devant tous etre distincts et en plus pouvoir écrire X et Y sous 4 formes différentes.
la seule somme qui vérifient ces dernières condition est 34=9+25 (avec 9=8+1=7+2=6+3=5+4 et 25=15+10=16+9=14+11=13+12).
Comme il aurait fallu au moins une autre somme 34=X+Y ce problème n'est pas possible.
J'espère que mon raisonnement est compréhensible,pas trop dur à suivre et surtout bon.
bonne soirée
          

          

bonjour,
dernier jour de vacances et je n'ai pas eu le temps de chercher toutes les énigmes

en n'espérant ne pas avoir fait d'étourderies voici le carré magique que je propose

16  3  13  2
5   10  8  11
4   15  1  14
9   6   12  7

merci pour cette enigmo

Voila le carré magique que j'ai trouvé:

04 15 14 01
05 10 11 08
09 06 07 12
16 03 02 13

Il y a une solution
_____________________
| 11 - 14  | 7  -  2 |
| 8  - 1   | 16 - 9  |
______________________
| 3  - 15  | 6  - 10 |
| 12 -  4  | 5  - 13 |
______________________

Bonjour,
Il y a des solutions, en voici une

1 8 10 15
12 13 3 6
7 2 16 9
14 11 5 4

L'image est la couverture du livre "La vie mode d'emploi" publié par Georges Pérec en 1978 et ayant reçu le prix Médicis de la même année.
Georges Pérec a utilisé pour monter son oeuvre, des modèles de déplacement inspirés des mouvements du cavalier du jeu d'échecs dans un damier 10x10 qui recouvrait un éclaté d'immeuble. Il a utilisé des grilles (carrés gréco-romains) pour représenter des thèmes abordés dans les chapitres en fonction des déplacements du cavalier sur cet échiquier.

Membre du mouvement Oulipo, il est l'auteur d'oeuvres dont l'organisation est dictée par des contraintes (souvent mathématiques) que l'auteur s'impose au préalable.

Je propose cette solution:

Pour la question subsidiaire aucune idée !

Bonjour,

Voici une solution


Merci beaucoup pour l'énigme, cher Jamo

bonjour,

Voici une solution:


Merci pour cette énigme.

Bonjour,

Il y a a priori pas mal de solutions.

En voici une :

Posons n1... n16 les chiffres posés dans les cases en allant de gauche à droite puis de haut en bas.

Soient:
2.K1 = n6+n7
2.K2 = n6+n10
2.K3 = n6+n11

On sait que n6+n7+n10+n11 (carré du milieu) = 34 d'où n7+n10 = 2.(17-K3) et n7+n11 = 2.(17-K2) et n10+n11 = 2.(17-K1).

Il vient que:
2.n6 = 2.K1+2.K2-2.(17-K3) => n6 = K1+K2+K3-17
De même:
n7 = K1-K2-K3+17
n10 = -K1+K2-K3+17
n11 = -K1-K2+K3+17

n6, n7... sont tous différents, d'où:
K1+K2 <> 17
K1+K3 <> 17
K2+K3 <> 17
et K1 <> K2 <> K3 (trivial!)

Calculons les chiffres aux angles
n1+n2+n3+n4 = 34 = n2+n3+n6+n7, d'où n1+n3 = n6+n7
Même procédé pour chaque paire d'angle
Pour n1, on obtient:
n1 = K1+K2-K3 = 17-n11
n4 = K1-K2+K3 = 17-n10
n13 = -K1+K2+K3+34 = 17-n7
n16 = -K1-K2-K3+24 = 17-n6

Équations sur les chiffres situés sur les côtés (sans les angles)
n2+n3 = 34-2.K1( = n5+n8)
n14+n15 = 2.K1 = n9+n12
n5+n9 = 34-2.K2( = n2+n14)
n8+n12 = 2.K2 = n3+n15
n2+n5 = 34-(n1+n6) = 51-2(K1+K2)
n9+n14 = 34-(n10+n13) = -17-2(-K1+K2)

On a 8 équations, 8 inconnues, ça devrait pouvoir le faire...
n14 = 2.K1-n15
n9 = 2.K1-n12
n8 = 2.K2-n12
n3 = 2.K2-n15

On réinjecte...
(1) n2-n15 = 34-2(K1-K2)
(2) n5-n12 = 34-2(K1+K2)
(3) n2+n5 = 51-2(K1+K2)
(4) n15+n12 = 17+2(K1+K2)
(1)+(2) = (3)-(4)

On vérifie :
68-4K1 = 34-4K1

Ce qui n'est bien évidemment pas possible!

Conclusion : Sauf erreur de calcul, le problème proposé n'a pas de solution...

Pour ce qui est de l'image... Je ne vois pas par contre. ^^

Bonjour Jamo ,

Voici la solution que je trouve :
Jolie énigme

Tout d'abord, on va poser N la somme d'une ligne, colonne, diagonale ou carré.
La somme des 4 lignes de la grille doit donc donner 4*N, et c'est aussi la somme
de toutes les cases de la grille, à savoir 1+2+3+4+5+...+16 = 17*8
On en déduit que N = 34.

Ensuite, on liste tous les quadruplets (d'entiers allant de 1 à 16) dont la somme vaut 34.

Prenons, par exemple, le nombre dans le coin supérieur gauche. Il appartient à une ligne,
une colonne, une diagonale et un carré. Donc il doit exister au moins 4 quadruplets contenant
le nombre inscrit dans ce coij supérieur gauche.
Pour les quatres case du centre, il faut "carrément" 7 quadruplets ! Ce nombre est élevé à
cause de la contrainte des carrés.
4 4 4 4
4 7 7 4
4 7 7 4
4 4 4 4

Si on cherche à recenser tous les couples d'entiers de 1 à 16 qui appartiennent à plus de 6
quadruplets, on trouve cette liste :
> (1,16) : 7
> (2,15) : 7
> (3,14) : 7
> (4,13) : 7
> (5,12) : 7
> (6,11) : 7
> (7,10) : 7
> (8,9) : 7

La bonne surprise vient du fait que pour chaque couple la somme de ses éléments vaut 17 !
Si on considère le carré central de notre grille, on doit avoir un carré magique 2x2 dont
les 2 lignes, les 2 colonnes et les 2 diagonales ont chacune une somme de 17.

A B C D
E F G H
I J K L
M N O P

Comme F+J = 17 et que E+I+F+J=34, on a aussi E+I = 17
Comme A+M+E+I = 34, on a aussi A+M = 17
Bref, tous les couples suivants ont une somme de 17 :
A,D  B,C  E,I,  A,M   N,P  N,O  D,P  H,L  F,G  J,K  F,J  G,K  F,K  G,J

Cela nous donne 14 couples distincts dont la somme des membres vaut 17.

Or, avec des entiers allant de 1 à 16, on ne peut pas trouver plus de 8 couples distincts répondant à ce critère.
(1,16) (2,15) (3,14) (4,13) (5,12) (6,11) (7,10) (8,9)

Un tel carré magique est donc impossible.

Clôture de l'énigme !!

rogerd >> Aieeeeee !!!! Voilà comment se faire détrôner de la 1ère place après un début de mois sans fautes. Je t'autorise à ouvrir la fenêtre, et non pas à t'y jeter, mais à y jeter la calculatrice qui t'a dit que 136/4=39 !!! C'est dommage, mais rien n'est perdu, il reste encore 3 énigmes non corrigées pour le mois de février ...

Montereau et/ou Moumbo >> heureusement que tu n'utilises plus ton 3ème compte Tolga, sinon, je pense que j'aurais eu droit à une 3ème réponse identique aux 2 premières, non ? Comme Moumbo n'a plus le droit de venir, alors inutile de le noter, qu'en penses-tu ? Je t'assure franchement que tu deviens de plus en plus agaçant ...

J'encourage vivement à ceux qui ont "démontré" que c'était impossible à revoir leur raisonnement qui doit contenir des failles.
En particulier, je crois qu'il ne faut pas faire trop vite le parallèle entre un système d'équations dans l'ensemble des réels et dans celui des entiers (nombre d'équations, nombre d'inconnues, ...).
En effet, dans l'ensemble des entiers, une équation toute simple du type "2x=5" n'admet pas de solution. De même, l'équation "a+b=3" admet un nombre fini de solutions, alors qu'il y en a une infinité dans l'ensemble des réels. Je vous renvoie aux joyeuses équations diophantiennes si vous voulez approfondir ce vaste sujet assez délicat ...

Et un grand merci à plumemeteore et ITMETIC qui ont montré qu'il était possible de trouver un carré magique avec encore plus de propriétés ! Incroyable, non ?

Pour la question subsidiaire, comme l'a signalé dhalte, il s'agit en effet de la couverture d'une des éditions de "La Vie Mode d'Emploi" de George Perec.
George Perec, c'est cet écrivain français (1936-1982), membre de l'Oulipo, qui a par exemple écrit ce fameux roman "La Disparition", qui ne contient pas une seule fois la voyelle E !!
Dans "La Vie Mode d'Emploi", on nous y raconte tout un tas de petites histoires dans un immeuble. Dans chaque pièce, des personnages, des objets, une histoire, ... et tout ceci est imbriqué et lié par tout un tas de contraintes, ce qui permet même de lire les chapitres du roman dans des ordres différents selon ce qu'on désire suivre.
On y trouve des carrés gréco-latins, le déplacement d'un cavalier sur une grille 10*10 sans jamais repasser par la même case, ...
Bref, un truc de fou bien difficile à expliquer.
Si cela vous intéresse d'en savoir davantage, je vous donne un lien :
Mais vous trouverez de nombreux autres sites qui expliquent la façon dont est écrit ce roman ...

Bonjour à tous,

Je propose le carré suivant:

   15   10    3     6      

    4    5   16     9

   14   11    2     7

    1    8   13    12


Question subsidiaire: pas de réponse.



  
    

    

    

Je râle...
D'habitude, je vérifie les calculs...
Impardonnable!

Merci à Jamo pour ses encouragements.

Je suis convaincu que tôt ou tard rogerd recevra un !

Bravo à tous

_{J'ai lu "la disparition" c'est impressionant ! Il a aussi fait un palindrome de plus de 1700 mots !}

Merci à infophile pour ses encouragements.

Je réalise qu'il y a des mathiliens très forts. Cela doit être très motivant pour ceux qui font marcher le site, notamment les poseurs d'énigmes.

Quant à moi, j'ai pris une claque salutaire.

Mes amitiés à tous!

Bah, ce n'est pas une claque ... ça arrive à tout le monde de faire une petite erreur.
Même ceux qui ont déjà gagné certains mois ont fait des erreurs tout aussi bêtes.
Et comme je te l'ai dis, le mois n'est pas fini !

Oui ça arrive à tout le monde mais c'est rageant

Bonne continuation à tous

Euh jamo, tu peux faire ce que tu veux à part de me noter.

Moumbo m'intéresse pas, c'est un menteur.

Qu'est-ce que je dis moi? Note moi mais note pas Moumbo donc c'est à part ne pas me noter

Bonsoir

Si cela interesse quelqun voici les 48 solutions possibles à ce problème en illiminant les répitition par rotation ou inversement de face:

** effacement des solutions redondantes **

1)

4    5    11    14
9    16    2    7
6    3    13    12
15    10    8    1

2)

6    3    13    12
9    16    2    7
4    5    11    14
15    10    8    1

3)

4    5    10    15
9    16    3    6
7    2    13    12
14    11    8    1

4)

7    2    13    12
9    16    3    6
4    5    10    15
14    11    8    1

5)

6    3    10    15
9    16    5    4
7    2    11    14
12    13    8    1

6)

7    2    11    14
9    16    5    4
6    3    10    15
12    13    8    1

7)

10    3    13    8
5    16    2    11
4    9    7    14
15    6    12    1

8)

11    2    13    8
5    16    3    10
4    9    6    15
14    7    12    1

9)

10    3    6    15
5    16    9    4
11    2    7    14
8    13    12    1

10)

11    2    7    14
5    16    9    4
10    3    6    15
8    13    12    1

11)

13    2    11    8
3    16    5    10
6    9    4    15
12    7    14    1

12)

13    2    7    12
3    16    9    6
10    5    4    15
8    11    14    1

13)

3    6    12    13
10    15    1    8
5    4    14    11
16    9    7    2

14)

5    4    14    11
10    15    1    8
3    6    12    13
16    9    7    2

15)

3    6    9    16
10    15    4    5
8    1    14    11
13    12    7    2

16)

8    1    14    11
10    15    4    5
3    6    9    16
13    12    7    2

17)

5    4    9    16
10    15    6    3
8    1    12    13
11    14    7    2

18)

8    1    12    13
10    15    6    3
5    4    9    16
11    14    7    2

19)

9    4    14    7
6    15    1    12
3    10    8    13
16    5    11    2

20)

12    1    14    7
6    15    4    9
3    10    5    16
13    8    11    2

21)

9    4    5    16
6    15    10    3
12    1    8    13
7    14    11    2

22)

12    1    8    13
6    15    10    3
9    4    5    16
7    14    11    2

23)

14    1    12    7
4    15    6    9
5    10    3    16
11    8    13    2

24)

14    1    8    11
4    15    10    5
9    6    3    16
7    12    13    2

25)

5    4    15    10
11    14    1    8
2    7    12    13
16    9    6    3

26)

8    1    15    10
11    14    4    5
2    7    9    16
13    12    6    3

27)

5    4    9    16
11    14    7    2
8    1    12    13
10    15    6    3

28)

8    1    12    13
11    14    7    2
5    4    9    16
10    15    6    3

29)

9    4    15    6
7    14    1    12
2    11    8    13
16    5    10    3

30)

12    1    15    6
7    14    4    9
2    11    5    16
13    8    10    3

31)

9    4    5    16
7    14    11    2
12    1    8    13
6    15    10    3

32)

12    1    8    13
7    14    11    2
9    4    5    16
6    15    10    3

33)

15    1    12    6
4    14    7    9
5    11    2    16
10    8    13    3

34)

15    1    8    10
4    14    11    5
9    7    2    16
6    12    13    3

35)

6    3    16    9
12    13    2    7
1    8    11    14
15    10    5    4

36)

7    2    16    9
12    13    3    6
1    8    10    15
14    11    5    4

37)

6    3    10    15
12    13    8    1
7    2    11    14
9    16    5    4

38)

7    2    11    14
12    13    8    1
6    3    10    15
9    16    5    4

39)

10    3    16    5
8    13    2    11
1    12    7    14
15    6    9    4

40)

11    2    16    5
8    13    3    10
1    12    6    15
14    7    9    4

41)

10    3    6    15
8    13    12    1
11    2    7    14
5    16    9    4

42)

11    2    7    14
8    13    12    1
10    3    6    15
5    16    9    4

43)

16    2    11    5
3    13    8    10
6    12    1    15
9    7    14    4

44)

16    2    7    9
3    13    12    6
10    8    1    15
5    11    14    4

45)

8    1    15    10
13    12    6    3
2    7    9    16
11    14    4    5

46)

8    1    14    11
13    12    7    2
3    6    9    16
10    15    4    5

47)

7    2    16    9
14    11    5    4
1    8    10    15
12    13    3    6

48)

7    2    13    12
14    11    8    1
4    5    10    15
9    16    3    6



Edit Coll

citation :
S'il existe au moins une solution, vous en donnerez une seule

Jamo>> Je me demande juste par curiosité, accorderez vous un smiley à quelqun qui a donné + qu'une solution

Oops Désolé, je viens de m'apercevoir que peu être à cause du (Ctrl+V), j'ai collé les solutions de 1-->40 3 fois, j'éspère des modérateurs si possible d'en illminer 2.

merci d'avance .

citation :
Jamo>> Je me demande juste par curiosité, accorderez vous un smiley à quelqun qui a donné + qu'une solution

Ici, je ne demandais qu'une seule réponse car je savais qu'il en existait plusieurs.

Si quelqu'un en avait donné plusieurs, à condition qu'elles soient correctes, alors oui, j'aurais donné un smiley !

Jamo>> Dans ce ca j'aurais du donner toutes ces solutions _{mais ce sera penible pour toi à corriger}

Merci pour les moderateur d'avoir effacée les solutions répétées .

moi lionnel je propose cela


  16    2    7    9
  3    13    12    6
  10    8    1    15
  5    11    14    4