Forum : équations et inéquations :
Résolution d'un problème par mise en équation

Bonjour, je ne sais pas comment procéder, pour résoudre les problèmes ci_dessous.

Ex 1)
La différence de deux entiers naturels est 45 et, quand on divise le plus grand par le plus petit, on obtient 5 pour quotient et 5 pour reste.
Quels sont ces deux entiers ?

Ex 2)
Déterminer deux réels sachant que leur différence est 3 et la différence de leurs carrés est 105(on commencera par calculer leur somme)

Ex 3)
Trouver un entier naturel de 2 chiffres dont la somme des chiffres vaut 12 et dont la différence avec les nombres obtenus en permutant les deux chiffres vaut 54.

Ex 4)
Leila réflechit : " En roulant à 10km/h j'arriverai à 13h mais en roulant à 15km/h j'arriverai à 11H

Bonjour,
1) Soient n et p les deux entiers naturels cherchés, tel que n<=p.
- La différence de deux entiers naturels est 45 => p-n = 45.
- Quand on divise le plus grand par le plus petit, on obtient 5 pour quotient et 5 pour reste => p = 5n +5 (division euclidienne).
Tu dois donc résoudre le système:
{ p =  n +45
{ p = 5n +5.

Ex 2)
Soient n et p les deux réels cherchés tel que n<=p.
- leur différence est 3 => p-n=3.
- la différence de leurs carrés est 105 => p²-n² = 105. Donc (identité remarquable) (p-n)(p+n)=105.
Tu dois donc résoudre le système:
{ p-n = 3
{ (p-n)(p+n) = 105.

Ex 3)

Solutions possibles répondant au critère " entier naturel dont la somme des 2 chiffres vaut 12 ":

9 + 3 = 12 -> 93
8 + 4 = 12 -> 84
7 + 5 = 12 -> 75
6 + 6 = 12 -> 66
5 + 7 = 12 -> 57


93 - 39 = 54! <<< Ma solution =54


Façon de procéder un peu "non-professionnelle"

Padawan, merci beaucoup, mais comment résoudre un systeme à deux inconnues ?

Ex 3)
Un entier naturel de deux chiifres est compris entre 10 et 99. Il s'écrit alors sour la forme 10n +p avec n et p entiers naturels tels que 1<=n<=9 et 0<=p<=9.
- la somme des chiffres vaut 12 => n+p = 12.
- la différence avec les nombres obtenus en permutant les deux chiffres vaut 54 => |10n+p -(10p+n)| = 54, soit: |10(n-p) +p-n| = 54.
Tu dois donc résoudre le système:
{ n+p = 12
{ |10(n-p) +p-n| = 54.

Et bien:
1)
{ p =  n +45  (1)
{ p = 5n +5    (2)
En combinant (1) et (2) on a: n+45 = 5n+5, donc 4n = 40, soit: n = 10.
En reportant dans (1), on trouve p = 10+45 = 55.

2)
{ p-n = 3      (1)
{ (p-n)(p+n) = 105  (2)
Dans (2) en remplaçant (p-n) par sa valeur 3 on a: 3(p+n) = 105, donc p+n = 35.
Il faut donc résoudre:
{ p-n=3
{ p+n=35
En ajoutant les deux lignes, il vient: 2p = 38, soit: p=17.
En reportant dans la première équation: n = p-3 = 17-3 = 14.

Voilà,
padawan.

Merci, j'ai compris le calcul, mais par rapport au problème je n'ai pas saisi concretement ce qu'on faisait.xD en mode chiante*

C'est toute la subtilité des problèmes mathématiques: il faut savoir voir et traduire le français en équations.
Quel exo te pose réellement problème?

Tous, en fait, ce sont les systèmes d'équation.

1er ex) Soient n et p les deux entiers naturels cherchés, tel que n<=p.
- La différence de deux entiers naturels est 45 => p-n = 45.
- Quand on divise le plus grand par le plus petit, on obtient 5 pour quotient et 5 pour reste


2e ex)Soient n et p les deux réels cherchés tel que n<=p.
- leur différence est 3 => p-n=3.
- la différence de leurs carrés est 105 => p²-n² = 105. Donc (identité remarquable) (p-n)(p+n)=105.


Cela, je comprends. ( ci-dessus )

Tu dois donc résoudre le système:
{ p-n = 3
{ (p-n)(p+n) = 105. < ça en revanche, je ne comprends pas.
Dans (2) en remplaçant (p-n) par sa valeur 3 on a: 3(p+n) = 105, donc p+n = 35.
Il faut donc résoudre:
{ p-n=3
{ p+n=35
En ajoutant les deux lignes, il vient: 2p = 38, soit: p=17.
En reportant dans la première équation: n = p-3 = 17-3 = 14.

citation :
{ (p-n)(p+n) = 105. < ça en revanche, je ne comprends pas.

cela vient dela dernière ligne que tu m'as dit avoir comprise:
"la différence de leurs carrés est 105, donc p²-n² = 105. Donc (identité remarquable a²-b² = (a-b)(a+b)): (p-n)(p+n) = 105."

( à partir de là, dans mon paragraphe je ne comprends pas, donc je ne comprends pas comment résoudre cette équation ^^ mais ça ne fait rien )

{ p-n = 3   (1)
{ (p-n)(p+n) = 105    (2)

Dans (2), tu remplaces p-n par sa valeur 3 donnée par l'équation (1):
Donc (2) devient: 3*(p+n) = 105, donc p+n = 105/3 = 35.

Donc le système s'écrit:
{ p-n = 3    (1)
{ p+n = 35  (2)

Résolution par combinaison linéaire (vu en 3ème normalement):
j'ajoute les deux lignes du système membre à membre: p-n+p+n = 3+35, ce qui donne: 2*p=38.
Donc p = 38/2 = 17.

En reportant dans la 1ère équation p-n = 3: 17-n = 3, donc: n = 17-3=14.

Est-ce plus clair?

padawan as tu un moment pour venir voire mon topic merci et desolé du dérangement !