Bonjour,
Je dois démontrer le lemme suivant
soit f de R dans F, F un Banach, g de R dans R deux fonctions définies sur [0,1] et dérivables sur ]0,1[ alors
pour tout x de ]0,1[, ||f'(x)|| g'(x) ||f(1)-f(0)|| g(1) - g(0)
Tout d'abord on considére un >0 et _:= ||f(x)-f(0)||-g(x)+g(0)- (x+1)
On note A_:= (_)()
J'ai montré que = max A_ existe et appartient à [0,1]
en utilisant la continuité de f et g j'ai montrer que était non nul et puis je suis bloquée à la question suivante:
en supposant que 0< <1 et en utilisant que f et g sont dérivables en , montrer que l'on peut trouver >0 tel que +apparitenne à A_
J'ai pensé au théorème des accroissements finis, j'ai essayé de réécrire ce que c'était être dérivable en un point, mais je suis perdue en la dérivée au sens du lycée avec la limite et la dérivée de Frechet et je ne vois pas du tout comment aboutir. Je crois que ce qui me manque c'est de voir la relation entre la dérivée de f et g et la fonction _
Un grand merci d'avance pour votre aide
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