Voilà mon prof m'a donné ce DM et je ne comprends pas grand chose, tout du moins pour l'instant je bloque sur toutes les questions. Alors si quelqu'un avait les réponses et aussi les explictions ça m'aiderait bien. Voilà l'énoncé en entier :

Soit (Mn) une suite de points de R². On note Mn=[xn,yn]. On dit qu'un point P est une valeur d'adhérence de la suite (Mn)si
Quelque soit E>0, quelque soit N, il existe n tel que n>N et d(Mn,P)<E

(La définition est dans le DM parce que on a pas fait le cours !)

1.1 Montrer que si une suite (Mn) converge vers L (appartenan à R²), alors L est une valeur d'adhérence de la suite et c'est la seule
(Pour cette question je pensais faire partir de la définition de la suite et arrivée à la valeur d'adhérence mais j'arrive pas à recaser le d(Mn,P))

1.2 Trouver les aleurs d'adhérence des suites (Mn) définies par :
Mn=[cos((n*Pi)/4), sin((n*Pi)/4]
Mn=1/n [cos((n*Pi)/4, sin((n*Pi)/4]
Mn=n [cos((n*Pi)/4, sin((n*Pi)/4]
(Pour cette question je sais meme pas comment m'y prendre parcque je sais pas quoi prendre pour le E de la définition ni comment touver le point P => bref je comprends rien !)

1.3 Montrer que P est un valeur d'adhérence de la suite (Mn) si et seulement il existe une sous suite (Mkn) telle que : lim Mkn = P quand n-> infini
(Bon ben là j'pense qu'y faut prouver les deux implications pour avoir l'équivalence mais pour l'une comme pour l'autre je vois pas trop comment faire)

1.4 Montrer que P n'est pas une valeur d'adhérence de (Mn) si il existe r>0 tel que :
{n appartien à N (=ensemble des entiers naturels) tel que Mn appartient à B(P,r)} est fini
Ici B(P,r) est la boule de centre P et de rayon r.
Montrer alors que pour tout Q de B(P,r), Q n'est pas non plus une valeur d'adhérence de (Mn). En déduire que l'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite (Mn) est une partie ferméede R².


Voilà ! J'espère que certains auront des idées parce que moi je sèche et en plus je n'ai pas de cours là dessus donc c'est un peu galère pour moi qui suis pas très douée en math.